Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpss 17380
 Description: Show that a structure extending a constructed group (e.g., a ring) is also a group. This allows us to prove that a constructed potential ring 𝑅 is a group before we know that it is also a ring. (Theorem ringgrp 18492, on the other hand, requires that we know in advance that 𝑅 is a ring.) (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
grpss.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
grpss.r 𝑅 ∈ V
grpss.s 𝐺𝑅
grpss.f Fun 𝑅
Assertion
Ref Expression
grpss (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem grpss
StepHypRef Expression
1 grpss.r . . . 4 𝑅 ∈ V
2 grpss.f . . . 4 Fun 𝑅
3 grpss.s . . . 4 𝐺𝑅
4 baseid 15859 . . . 4 Base = Slot (Base‘ndx)
5 opex 4903 . . . . . 6 ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V
65prid1 4274 . . . . 5 ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
7 grpss.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
86, 7eleqtrri 2697 . . . 4 ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝐺
91, 2, 3, 4, 8strss 15850 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
10 plusgid 15917 . . . 4 +g = Slot (+g‘ndx)
11 opex 4903 . . . . . 6 ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V
1211prid2 4275 . . . . 5 ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
1312, 7eleqtrri 2697 . . . 4 ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺
141, 2, 3, 10, 13strss 15850 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝐺)
159, 14grpprop 17378 . 2 (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝐺 ∈ Grp)
1615bicomi 214 1 (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3190   ⊆ wss 3560  {cpr 4157  ⟨cop 4161  Fun wfun 5851  ‘cfv 5857  ndxcnx 15797  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  Grpcgrp 17362 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-nn 10981  df-2 11039  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator