Theorem grpsubcl 18173

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 18172	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovrn 7312	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1159	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   × cxp 5547  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  Grpcgrp 18097  -_gcsg 18099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102

This theorem is referenced by:  grpsubsub  18182  grpsubsub4  18186  grpnpncan  18188  grpnnncan2  18190  dfgrp3  18192  nsgconj  18305  nsgacs  18308  nsgid  18316  ghmnsgpreima  18377  ghmeqker  18379  ghmf1  18381  conjghm  18383  conjnmz  18386  conjnmzb  18387  sylow3lem2  18747  abladdsub4  18928  abladdsub  18929  ablpncan3  18931  ablsubsub4  18933  ablpnpcan  18934  ablnnncan  18937  ablnnncan1  18938  telgsumfzslem  19102  telgsumfzs  19103  telgsums  19107  lmodvsubcl  19673  lvecvscan2  19878  coe1subfv  20428  evl1subd  20499  ipsubdir  20780  ipsubdi  20781  ip2subdi  20782  dmatsubcl  21101  scmatsubcl  21120  mdetunilem9  21223  mdetuni0  21224  chmatcl  21430  chpmat1d  21438  chpdmatlem1  21440  chpscmat  21444  chpidmat  21449  chfacfisf  21456  cpmadugsumlemF  21478  cpmidgsum2  21481  tgpconncomp  22715  ghmcnp  22717  nrmmetd  23178  ngpds2  23209  ngpds3  23211  isngp4  23215  nmsub  23226  nm2dif  23228  nmtri2  23230  subgngp  23238  ngptgp  23239  nrgdsdi  23268  nrgdsdir  23269  nlmdsdi  23284  nlmdsdir  23285  nrginvrcnlem  23294  nmods  23347  tcphcphlem1  23832  tcphcph  23834  cphipval2  23838  4cphipval2  23839  cphipval  23840  ipcnlem2  23841  deg1sublt  24698  ply1divmo  24723  ply1divex  24724  r1pcl  24745  r1pid  24747  ply1remlem  24750  ig1peu  24759  dchr2sum  25843  lgsqrlem2  25917  lgsqrlem3  25918  lgsqrlem4  25919  ttgcontlem1  26665  ogrpsublt  30717  archiabllem1a  30815  archiabllem2a  30818  archiabllem2c  30819  ornglmulle  30873  orngrmulle  30874  lclkrlem2m  38649  idomrootle  39788  lidldomn1  44186  linply1  44441