Theorem grpsubcl 17542

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 17541	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovrn 6846	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1399	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   × cxp 5141  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  Grpcgrp 17469  -_gcsg 17471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474

This theorem is referenced by:  grpsubsub  17551  grpsubsub4  17555  grpnpncan  17557  grpnnncan2  17559  dfgrp3  17561  nsgconj  17674  nsgacs  17677  nsgid  17687  ghmnsgpreima  17732  ghmeqker  17734  ghmf1  17736  conjghm  17738  conjnmz  17741  conjnmzb  17742  sylow3lem2  18089  abladdsub4  18265  abladdsub  18266  ablpncan3  18268  ablsubsub4  18270  ablpnpcan  18271  ablnnncan  18274  ablnnncan1  18275  telgsumfzslem  18431  telgsumfzs  18432  telgsums  18436  lmodvsubcl  18956  lvecvscan2  19160  coe1subfv  19684  evl1subd  19754  ipsubdir  20035  ipsubdi  20036  ip2subdi  20037  dmatsubcl  20352  scmatsubcl  20371  mdetunilem9  20474  mdetuni0  20475  chmatcl  20681  chpmat1d  20689  chpdmatlem1  20691  chpscmat  20695  chpidmat  20700  chfacfisf  20707  cpmadugsumlemF  20729  cpmidgsum2  20732  tgpconncomp  21963  ghmcnp  21965  nrmmetd  22426  ngpds2  22457  ngpds3  22459  isngp4  22463  nmsub  22474  nm2dif  22476  nmtri2  22478  subgngp  22486  ngptgp  22487  nrgdsdi  22516  nrgdsdir  22517  nlmdsdi  22532  nlmdsdir  22533  nrginvrcnlem  22542  nmods  22595  tchcphlem1  23080  tchcph  23082  cphipval2  23086  4cphipval2  23087  cphipval  23088  ipcnlem2  23089  deg1sublt  23915  ply1divmo  23940  ply1divex  23941  r1pcl  23962  r1pid  23964  ply1remlem  23967  ig1peu  23976  dchr2sum  25043  lgsqrlem2  25117  lgsqrlem3  25118  lgsqrlem4  25119  ttgcontlem1  25810  ogrpsublt  29850  archiabllem1a  29873  archiabllem2a  29876  archiabllem2c  29877  ornglmulle  29933  orngrmulle  29934  lclkrlem2m  37125  idomrootle  38090  lidldomn1  42246  linply1  42506