MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpsubid 17720
Description: Subtraction of a group element from itself. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o 0 = (0g𝐺)
grpsubid.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpsubid ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grpsubid
StepHypRef Expression
1 grpsubid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2760 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 eqid 2760 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4 grpsubid.m . . . . 5 = (-g𝐺)
51, 2, 3, 4grpsubval 17686 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑋)))
65anidms 680 . . 3 (𝑋𝐵 → (𝑋 𝑋) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑋)))
76adantl 473 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑋)))
8 grpsubid.o . . 3 0 = (0g𝐺)
91, 2, 8, 3grprinv 17690 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑋)) = 0 )
107, 9eqtrd 2794 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  0gc0g 16322  Grpcgrp 17643  invgcminusg 17644  -gcsg 17645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648
This theorem is referenced by:  grppncan  17727  grpnpncan0  17732  issubg4  17834  0nsg  17860  gexdvds  18219  abladdsub4  18439  ablpncan2  18441  ablpnpcan  18445  ablnncan  18446  telgsums  18610  dprdfeq0  18641  lmodsubid  19145  dmatsubcl  20526  mdetuni0  20649  chpmat0d  20861  chpdmatlem2  20866  tgpconncomp  22137  tgpt0  22143  tgptsmscls  22174  deg1sublt  24089  lgsqrlem1  25291  archiabllem1a  30075  archiabllem2a  30078  archiabllem2c  30079  ornglmulle  30135  orngrmulle  30136  lfl0  34873  eqlkr  34907  lkrlsp  34910  lclkrlem2m  37328  lcfrlem1  37351  hdmapinvlem3  37732
  Copyright terms: Public domain W3C validator