Theorem grpsubid 18177

Description: Subtraction of a group element from itself. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpsubid.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grpsubid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		grpsubid.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 18143	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)))
6	5	anidms 569	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 − 𝑋) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)))
7	6	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)))
8		grpsubid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
9	1, 2, 8, 3	grprinv 18147	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑋)) = 0 )
10	7, 9	eqtrd 2856	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  0_gc0g 16707  Grpcgrp 18097  inv_gcminusg 18098  -_gcsg 18099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102

This theorem is referenced by:  grppncan  18184  grpnpncan0  18189  issubg4  18292  0nsg  18315  gexdvds  18703  abladdsub4  18928  ablpncan2  18930  ablpnpcan  18934  ablnncan  18935  telgsums  19107  dprdfeq0  19138  lmodsubid  19688  dmatsubcl  21101  mdetuni0  21224  chpmat0d  21436  chpdmatlem2  21441  tgpconncomp  22715  tgpt0  22721  tgptsmscls  22752  deg1sublt  24698  lgsqrlem1  25916  archiabllem1a  30815  archiabllem2a  30818  archiabllem2c  30819  ornglmulle  30873  orngrmulle  30874  lfl0  36195  eqlkr  36229  lkrlsp  36232  lclkrlem2m  38649  lcfrlem1  38672  hdmapinvlem3  39050