MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpsubid 17268
Description: Subtraction of a group element from itself. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o 0 = (0g𝐺)
grpsubid.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpsubid ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grpsubid
StepHypRef Expression
1 grpsubid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2609 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 eqid 2609 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4 grpsubid.m . . . . 5 = (-g𝐺)
51, 2, 3, 4grpsubval 17234 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑋)))
65anidms 674 . . 3 (𝑋𝐵 → (𝑋 𝑋) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑋)))
76adantl 480 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑋)))
8 grpsubid.o . . 3 0 = (0g𝐺)
91, 2, 8, 3grprinv 17238 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑋)) = 0 )
107, 9eqtrd 2643 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  0gc0g 15869  Grpcgrp 17191  invgcminusg 17192  -gcsg 17193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196
This theorem is referenced by:  grppncan  17275  grpnpncan0  17280  issubg4  17382  0nsg  17408  gexdvds  17768  abladdsub4  17988  ablpncan2  17990  ablpnpcan  17994  ablnncan  17995  telgsums  18159  dprdfeq0  18190  lmodsubid  18692  dmatsubcl  20065  mdetuni0  20188  chpmat0d  20400  chpdmatlem2  20405  tgpconcomp  21668  tgpt0  21674  tgptsmscls  21705  deg1sublt  23591  lgsqrlem1  24788  archiabllem1a  28882  archiabllem2a  28885  archiabllem2c  28886  ornglmulle  28942  orngrmulle  28943  lfl0  33166  eqlkr  33200  lkrlsp  33203  lclkrlem2m  35622  lcfrlem1  35645  hdmapinvlem3  36026
  Copyright terms: Public domain W3C validator