Theorem grpsubval 17386

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubval.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
grpsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6611	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑦)))
2		fveq2 6148	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
3	2	oveq2d 6620	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
4		grpsubval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		grpsubval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7		grpsubval.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	4, 5, 6, 7	grpsubfval 17385	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼‘𝑦)))
9		ovex 6632	. 2 ⊢ (𝑋 + (𝐼‘𝑌)) ∈ V
10	1, 3, 8, 9	ovmpt2 6749	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +_gcplusg 15862  inv_gcminusg 17344  -_gcsg 17345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-sbg 17348

This theorem is referenced by:  grpsubinv  17409  grpsubrcan  17417  grpinvsub  17418  grpinvval2  17419  grpsubid  17420  grpsubid1  17421  grpsubeq0  17422  grpsubadd0sub  17423  grpsubadd  17424  grpsubsub  17425  grpaddsubass  17426  grpnpcan  17428  pwssub  17450  mulgsubdir  17503  subgsubcl  17526  subgsub  17527  issubg4  17534  qussub  17575  ghmsub  17589  sylow2blem1  17956  lsmelvalm  17987  ablsub2inv  18137  ablsub4  18139  ablsubsub4  18145  mulgsubdi  18156  eqgabl  18161  gsumsub  18269  dprdfsub  18341  ringsubdi  18520  rngsubdir  18521  abvsubtri  18756  lmodvsubval2  18839  lmodsubdir  18842  lspsntrim  19017  cnfldsub  19693  m2detleiblem7  20352  chpscmatgsumbin  20568  tgpconncomp  21826  tsmssub  21862  tsmsxplem1  21866  isngp4  22326  ngpsubcan  22328  ngptgp  22350  tngngp3  22370  clmpm1dir  22811  cphipval  22950  deg1suble  23771  deg1sub  23772  dchr2sum  24898  ogrpsub  29499  archiabllem2c  29531  lflsub  33831  ldualvsubval  33921  lcdvsubval  36384  baerlem3lem1  36473  baerlem5alem1  36474  baerlem5amN  36482  baerlem5bmN  36483  baerlem5abmN  36484  hdmapsub  36616