Theorem grpsubval 17587

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubval.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
grpsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6772	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑦)))
2		fveq2 6304	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
3	2	oveq2d 6781	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
4		grpsubval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		grpsubval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7		grpsubval.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	4, 5, 6, 7	grpsubfval 17586	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼‘𝑦)))
9		ovex 6793	. 2 ⊢ (𝑋 + (𝐼‘𝑌)) ∈ V
10	1, 3, 8, 9	ovmpt2 6913	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980  +_gcplusg 16064  inv_gcminusg 17545  -_gcsg 17546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-sbg 17549

This theorem is referenced by:  grpsubinv  17610  grpsubrcan  17618  grpinvsub  17619  grpinvval2  17620  grpsubid  17621  grpsubid1  17622  grpsubeq0  17623  grpsubadd0sub  17624  grpsubadd  17625  grpsubsub  17626  grpaddsubass  17627  grpnpcan  17629  pwssub  17651  mulgsubdir  17704  subgsubcl  17727  subgsub  17728  issubg4  17735  qussub  17776  ghmsub  17790  sylow2blem1  18156  lsmelvalm  18187  ablsub2inv  18337  ablsub4  18339  ablsubsub4  18345  mulgsubdi  18356  eqgabl  18361  gsumsub  18469  dprdfsub  18541  ringsubdi  18720  rngsubdir  18721  abvsubtri  18958  lmodvsubval2  19041  lmodsubdir  19044  lspsntrim  19221  cnfldsub  19897  m2detleiblem7  20556  chpscmatgsumbin  20772  tgpconncomp  22038  tsmssub  22074  tsmsxplem1  22078  isngp4  22538  ngpsubcan  22540  ngptgp  22562  tngngp3  22582  clmpm1dir  23024  cphipval  23163  deg1suble  23987  deg1sub  23988  dchr2sum  25118  ogrpsub  29947  archiabllem2c  29979  lflsub  34774  ldualvsubval  34864  lcdvsubval  37326  baerlem3lem1  37415  baerlem5alem1  37416  baerlem5amN  37424  baerlem5bmN  37425  baerlem5abmN  37426  hdmapsub  37558