Theorem grpvrinv 20021

Description: Tuple-wise right inverse in groups. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpvlinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpvlinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpvlinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpvlinv.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpvrinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → (𝑋 ∘𝑓 + (𝑁 ∘ 𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))

Proof of Theorem grpvrinv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 786	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
2		elmapi 7765	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
4	3	ffvelrnda 6267	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ 𝐵)
5		grpvlinv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		grpvlinv.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7		grpvlinv.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		grpvlinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
9	5, 6, 7, 8	grprinv 17292	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥))) = 0 )
10	1, 4, 9	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥))) = 0 )
11	10	mpteq2dva 4672	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
12		elmapex 7764	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
13	12	simprd 478	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
14	13	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
15		fvex 6113	. . . 4 ⊢ (𝑁‘(𝑋‘𝑥)) ∈ V
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑋‘𝑥)) ∈ V)
17	3	feqmptd 6159	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑋 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑥)))
18	5, 8	grpinvf 17289	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
19		fcompt 6306	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝐵⟶𝐵 ∧ 𝑋:𝐼⟶𝐵) → (𝑁 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋‘𝑥))))
20	18, 2, 19	syl2an 493	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → (𝑁 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋‘𝑥))))
21	14, 4, 16, 17, 20	offval2 6812	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → (𝑋 ∘𝑓 + (𝑁 ∘ 𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑋‘𝑥) + (𝑁‘(𝑋‘𝑥)))))
22		fconstmpt 5085	. . 3 ⊢ (𝐼 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )
23	22	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → (𝐼 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
24	11, 21, 23	3eqtr4d 2654	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → (𝑋 ∘𝑓 + (𝑁 ∘ 𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793   ↑_𝑚 cmap 7744  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  0_gc0g 15923  Grpcgrp 17245  inv_gcminusg 17246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249

This theorem is referenced by: (None)