MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpvrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpvrinv 20404
Description: Tuple-wise right inverse in groups. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpvlinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpvlinv.p + = (+g𝐺)
grpvlinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
grpvlinv.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpvrinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑋𝑓 + (𝑁𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))

Proof of Theorem grpvrinv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 807 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
2 elmapi 8045 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
32adantl 473 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
43ffvelrnda 6522 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐵)
5 grpvlinv.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
6 grpvlinv.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
7 grpvlinv.z . . . . 5 0 = (0g𝐺)
8 grpvlinv.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐺)
95, 6, 7, 8grprinv 17670 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋𝑥) + (𝑁‘(𝑋𝑥))) = 0 )
101, 4, 9syl2anc 696 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑋𝑥) + (𝑁‘(𝑋𝑥))) = 0 )
1110mpteq2dva 4896 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑋𝑥) + (𝑁‘(𝑋𝑥)))) = (𝑥𝐼0 ))
12 elmapex 8044 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
1312simprd 482 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
1413adantl 473 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
15 fvexd 6364 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑁‘(𝑋𝑥)) ∈ V)
163feqmptd 6411 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑋 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑋𝑥)))
175, 8grpinvf 17667 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)
18 fcompt 6563 . . . 4 ((𝑁:𝐵𝐵𝑋:𝐼𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
1917, 2, 18syl2an 495 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
2014, 4, 15, 16, 19offval2 7079 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑋𝑓 + (𝑁𝑋)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑋𝑥) + (𝑁‘(𝑋𝑥)))))
21 fconstmpt 5320 . . 3 (𝐼 × { 0 }) = (𝑥𝐼0 )
2221a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝐼 × { 0 }) = (𝑥𝐼0 ))
2311, 20, 223eqtr4d 2804 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑋𝑓 + (𝑁𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  {csn 4321  cmpt 4881   × cxp 5264  ccom 5270  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑓 cof 7060  𝑚 cmap 8023  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  0gc0g 16302  Grpcgrp 17623  invgcminusg 17624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-map 8025  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator