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Theorem grur1a 9585
Description: A characterization of Grothendieck universes, part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
Assertion
Ref Expression
grur1a (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem grur1a
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gruina.1 . . . . . 6 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
2 inss1 3811 . . . . . 6 (𝑈 ∩ On) ⊆ 𝑈
31, 2eqsstri 3614 . . . . 5 𝐴𝑈
4 sseq2 3606 . . . . 5 (𝑈 = ∅ → (𝐴𝑈𝐴 ⊆ ∅))
53, 4mpbii 223 . . . 4 (𝑈 = ∅ → 𝐴 ⊆ ∅)
6 ss0 3946 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
7 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) = (𝑅1‘∅))
8 r10 8575 . . . . . 6 (𝑅1‘∅) = ∅
97, 8syl6eq 2671 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) = ∅)
10 0ss 3944 . . . . 5 ∅ ⊆ 𝑈
119, 10syl6eqss 3634 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)
125, 6, 113syl 18 . . 3 (𝑈 = ∅ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)
1312a1i 11 . 2 (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 = ∅ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈))
141gruina 9584 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
15 inawina 9456 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)
16 winaon 9454 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ∈ On)
17 winalim 9461 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)
18 r1lim 8579 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
1916, 17, 18syl2anc 692 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inaccw → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
2014, 15, 193syl 18 . . . 4 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
21 inss2 3812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∩ On) ⊆ On
221, 21eqsstri 3614 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ⊆ On
2322sseli 3579 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝑥 ∈ On)
24 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
25 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ∅ → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘∅))
2625, 8syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → (𝑅1𝑥) = ∅)
2726eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
2824, 27imbi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈)))
29 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
30 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝑦))
3130eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
3229, 31imbi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)))
33 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑦𝐴))
34 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
3534eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))
3633, 35imbi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
373sseli 3579 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ Univ → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈))
39 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → suc 𝑦𝐴)
40 elelsuc 5756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (suc 𝑦𝐴 → suc 𝑦 ∈ suc 𝐴)
413sseli 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (suc 𝑦𝐴 → suc 𝑦𝑈)
42 ne0i 3897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (suc 𝑦𝑈𝑈 ≠ ∅)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (suc 𝑦𝐴𝑈 ≠ ∅)
4414, 15, 163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
4543, 44sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → 𝐴 ∈ On)
46 eloni 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
47 ordsucelsuc 6969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord 𝐴 → (𝑦𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ suc 𝐴))
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → (𝑦𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ suc 𝐴))
4940, 48syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → (suc 𝑦𝐴𝑦𝐴))
5039, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
51 grupw 9561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)
5251ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ Univ → ((𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → ((𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
54 r1suc 8577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1𝑦))
5554eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ On → ((𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈 ↔ 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
5655biimprcd 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))
5753, 56syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → ((𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
5850, 57embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
5958ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ Univ → (suc 𝑦𝐴 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
6059com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (suc 𝑦𝐴 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
6160com4r 94 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
62 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
633sseli 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝐴𝑥𝑈)
64 ne0i 3897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝑈𝑈 ≠ ∅)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝐴𝑈 ≠ ∅)
6665, 44sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ On)
67 ontr1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ On → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴))
68 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐴 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
6967, 68syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ On → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)))
7069expd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ On → (𝑦𝑥 → (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))))
7170com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 → (𝐴 ∈ On → (𝑦𝑥 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))))
7262, 66, 71sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝑥 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)))
7372imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
7473ralimdva 2956 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → ∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
75 gruiun 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)
76753expia 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → (∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
7763, 76sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
7874, 77syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
79 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 ∈ V
80 r1lim 8579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
8179, 80mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Lim 𝑥 → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
8281eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Lim 𝑥 → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝑈 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
8382biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Lim 𝑥 → ( 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))
8478, 83sylan9r 689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Lim 𝑥 ∧ (𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴)) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))
8584exp32 630 . . . . . . . . . . . . 13 (Lim 𝑥 → (𝑈 ∈ Univ → (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))))
8685com34 91 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝑥 → (𝑈 ∈ Univ → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))))
8728, 32, 36, 38, 61, 86tfinds2 7010 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → (𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)))
8887com3r 87 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)))
8923, 88mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))
9089impcom 446 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
91 gruelss 9560 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9290, 91syldan 487 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9392ralrimiva 2960 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
94 iunss 4527 . . . . . 6 ( 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9593, 94sylibr 224 . . . . 5 (𝑈 ∈ Univ → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9695adantr 481 . . . 4 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9720, 96eqsstrd 3618 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)
9897ex 450 . 2 (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ≠ ∅ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈))
9913, 98pm2.61dne 2876 1 (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130   ciun 4485  Ord word 5681  Oncon0 5682  Lim wlim 5683  suc csuc 5684  cfv 5847  𝑅1cr1 8569  Inaccwcwina 9448  Inacccina 9449  Univcgru 9556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-ac2 9229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-r1 8571  df-card 8709  df-cf 8711  df-ac 8883  df-wina 9450  df-ina 9451  df-gru 9557
This theorem is referenced by:  grur1  9586
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