MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grutsk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grutsk 9591
Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes. (The proof in the forward direction requires Foundation.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grutsk Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}

Proof of Theorem grutsk
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0tsk 9524 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Tarski
2 eleq1 2686 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ Tarski ↔ ∅ ∈ Tarski))
31, 2mpbiri 248 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski)
43a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
5 vex 3189 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
6 unir1 8623 . . . . . . . . . . 11 (𝑅1 “ On) = V
75, 6eleqtrri 2697 . . . . . . . . . 10 𝑦 (𝑅1 “ On)
8 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∩ On) = (𝑦 ∩ On)
98grur1 9589 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 (𝑅1 “ On)) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
107, 9mpan2 706 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
1110adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
128gruina 9587 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑦 ∩ On) ∈ Inacc)
13 inatsk 9547 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∩ On) ∈ Inacc → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
1511, 14eqeltrd 2698 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ Tarski)
1615ex 450 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ≠ ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
174, 16pm2.61dne 2876 . . . . 5 (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 ∈ Tarski)
18 grutr 9562 . . . . 5 (𝑦 ∈ Univ → Tr 𝑦)
1917, 18jca 554 . . . 4 (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
20 grutsk1 9590 . . . 4 ((𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ Univ)
2119, 20impbii 199 . . 3 (𝑦 ∈ Univ ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
22 treq 4720 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (Tr 𝑥 ↔ Tr 𝑦))
2322elrab 3347 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
2421, 23bitr4i 267 . 2 (𝑦 ∈ Univ ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥})
2524eqriv 2618 1 Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {crab 2911  Vcvv 3186  cin 3555  c0 3893   cuni 4404  Tr wtr 4714  cima 5079  Oncon0 5684  cfv 5849  𝑅1cr1 8572  Inacccina 9452  Tarskictsk 9517  Univcgru 9559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-reg 8444  ax-inf2 8485  ax-ac2 9232
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-smo 7391  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-oi 8362  df-har 8410  df-tc 8560  df-r1 8574  df-rank 8575  df-card 8712  df-aleph 8713  df-cf 8714  df-acn 8715  df-ac 8886  df-wina 9453  df-ina 9454  df-tsk 9518  df-gru 9560
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator