MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gruwun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gruwun 9579
Description: A nonempty Grothendieck universe is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
gruwun ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ∈ WUni)

Proof of Theorem gruwun
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grutr 9559 . . 3 (𝑈 ∈ Univ → Tr 𝑈)
21adantr 481 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → Tr 𝑈)
3 simpr 477 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ≠ ∅)
4 gruuni 9566 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
54adantlr 750 . . . 4 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
6 grupw 9561 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝒫 𝑥𝑈)
76adantlr 750 . . . 4 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝒫 𝑥𝑈)
8 grupr 9563 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
983expa 1262 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝑈) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
109adantllr 754 . . . . 5 ((((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝑈) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
1110ralrimiva 2960 . . . 4 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
125, 7, 113jca 1240 . . 3 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))
1312ralrimiva 2960 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))
14 iswun 9470 . . 3 (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
1514adantr 481 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
162, 3, 13, 15mpbir3and 1243 1 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ∈ WUni)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {cpr 4150   cuni 4402  Tr wtr 4712  WUnicwun 9466  Univcgru 9556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-map 7804  df-wun 9468  df-gru 9557
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator