MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsum0 17043
Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gsum0.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsum0 (𝐺 Σg ∅) = 0

Proof of Theorem gsum0
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑜 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2605 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 gsum0.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2605 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2605 . . 3 {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
6 0ex 4709 . . . 4 ∅ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ V → ∅ ∈ V)
8 f0 5980 . . . 4 ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)}
98a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ V → ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)})
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9gsumval1 17042 . 2 (𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
11 df-gsum 15868 . . . . 5 Σg = (𝑤 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑤)((𝑥(+g𝑤)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑤)𝑥) = 𝑦)} / 𝑜if(ran 𝑓𝑜, (0g𝑤), if(dom 𝑓 ∈ ran ..., (℩𝑥𝑚𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(dom 𝑓 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚((+g𝑤), 𝑓)‘𝑛))), (℩𝑥𝑔[(𝑓 “ (V ∖ 𝑜)) / 𝑦](𝑔:(1...(#‘𝑦))–1-1-onto𝑦𝑥 = (seq1((+g𝑤), (𝑓𝑔))‘(#‘𝑦)))))))
1211reldmmpt2 6643 . . . 4 Rel dom Σg
1312ovprc1 6556 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = ∅)
14 fvprc 6078 . . . 4 𝐺 ∈ V → (0g𝐺) = ∅)
152, 14syl5eq 2651 . . 3 𝐺 ∈ V → 0 = ∅)
1613, 15eqtr4d 2642 . 2 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
1710, 16pm2.61i 174 1 (𝐺 Σg ∅) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 382   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1975  wral 2891  wrex 2892  {crab 2895  Vcvv 3168  [wsbc 3397  csb 3494  cdif 3532  wss 3535  c0 3869  ifcif 4031  ccnv 5023  dom cdm 5024  ran crn 5025  cima 5027  ccom 5028  cio 5748  wf 5782  1-1-ontowf1o 5785  cfv 5786  (class class class)co 6523  1c1 9789  cuz 11515  ...cfz 12148  seqcseq 12614  #chash 12930  Basecbs 15637  +gcplusg 15710  0gc0g 15865   Σg cgsu 15866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-seq 12615  df-gsum 15868
This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  17140  gsumccat  17143  gsumwmhm  17147  gsumwspan  17148  frmdgsum  17164  frmdup1  17166  gsumwrev  17561  gsmsymgrfix  17613  gsmsymgreq  17617  psgnunilem2  17680  psgn0fv0  17696  psgnsn  17705  psgnprfval1  17707  gsumconst  18099  mplmonmul  19227  mplcoe1  19228  mplcoe5  19231  coe1fzgsumd  19435  evl1gsumd  19484  gsumfsum  19574  mdet0pr  20155  madugsum  20206  tmdgsum  21647  xrge0gsumle  22372  xrge0tsms  22373  jensen  24428  gsumle  28912  gsumvsca1  28915  gsumvsca2  28916  xrge0tsmsd  28918  esumnul  29239  esumsnf  29255  sitg0  29537  mrsub0  30469  matunitlindflem1  32374  lincval0  41996
  Copyright terms: Public domain W3C validator