Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsum0 17259
 Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gsum0.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsum0 (𝐺 Σg ∅) = 0

Proof of Theorem gsum0
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑜 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 gsum0.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2620 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2620 . . 3 {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
6 0ex 4781 . . . 4 ∅ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ V → ∅ ∈ V)
8 f0 6073 . . . 4 ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)}
98a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ V → ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)})
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9gsumval1 17258 . 2 (𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
11 df-gsum 16084 . . . . 5 Σg = (𝑤 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑤)((𝑥(+g𝑤)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑤)𝑥) = 𝑦)} / 𝑜if(ran 𝑓𝑜, (0g𝑤), if(dom 𝑓 ∈ ran ..., (℩𝑥𝑚𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(dom 𝑓 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚((+g𝑤), 𝑓)‘𝑛))), (℩𝑥𝑔[(𝑓 “ (V ∖ 𝑜)) / 𝑦](𝑔:(1...(#‘𝑦))–1-1-onto𝑦𝑥 = (seq1((+g𝑤), (𝑓𝑔))‘(#‘𝑦)))))))
1211reldmmpt2 6756 . . . 4 Rel dom Σg
1312ovprc1 6669 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = ∅)
14 fvprc 6172 . . . 4 𝐺 ∈ V → (0g𝐺) = ∅)
152, 14syl5eq 2666 . . 3 𝐺 ∈ V → 0 = ∅)
1613, 15eqtr4d 2657 . 2 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
1710, 16pm2.61i 176 1 (𝐺 Σg ∅) = 0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 384   = wceq 1481  ∃wex 1702   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909  ∃wrex 2910  {crab 2913  Vcvv 3195  [wsbc 3429  ⦋csb 3526   ∖ cdif 3564   ⊆ wss 3567  ∅c0 3907  ifcif 4077  ◡ccnv 5103  dom cdm 5104  ran crn 5105   “ cima 5107   ∘ ccom 5108  ℩cio 5837  ⟶wf 5872  –1-1-onto→wf1o 5875  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  1c1 9922  ℤ≥cuz 11672  ...cfz 12311  seqcseq 12784  #chash 13100  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  0gc0g 16081   Σg cgsu 16082 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-seq 12785  df-gsum 16084 This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  17356  gsumccat  17359  gsumwmhm  17363  gsumwspan  17364  frmdgsum  17380  frmdup1  17382  gsumwrev  17777  gsmsymgrfix  17829  gsmsymgreq  17833  psgnunilem2  17896  psgn0fv0  17912  psgnsn  17921  psgnprfval1  17923  gsumconst  18315  mplmonmul  19445  mplcoe1  19446  mplcoe5  19449  coe1fzgsumd  19653  evl1gsumd  19702  gsumfsum  19794  mdet0pr  20379  madugsum  20430  tmdgsum  21880  xrge0gsumle  22617  xrge0tsms  22618  jensen  24696  gsumle  29753  gsumvsca1  29756  gsumvsca2  29757  xrge0tsmsd  29759  esumnul  30084  esumsnf  30100  sitg0  30382  mrsub0  31387  matunitlindflem1  33376  lincval0  41969
 Copyright terms: Public domain W3C validator