MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsum0 17882
Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gsum0.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsum0 (𝐺 Σg ∅) = 0

Proof of Theorem gsum0
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑜 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 gsum0.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2818 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2818 . . 3 {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
6 0ex 5202 . . . 4 ∅ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ V → ∅ ∈ V)
8 f0 6553 . . . 4 ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)}
98a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ V → ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)})
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9gsumval1 17881 . 2 (𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
11 df-gsum 16704 . . . . 5 Σg = (𝑤 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑤)((𝑥(+g𝑤)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑤)𝑥) = 𝑦)} / 𝑜if(ran 𝑓𝑜, (0g𝑤), if(dom 𝑓 ∈ ran ..., (℩𝑥𝑚𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(dom 𝑓 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚((+g𝑤), 𝑓)‘𝑛))), (℩𝑥𝑔[(𝑓 “ (V ∖ 𝑜)) / 𝑦](𝑔:(1...(♯‘𝑦))–1-1-onto𝑦𝑥 = (seq1((+g𝑤), (𝑓𝑔))‘(♯‘𝑦)))))))
1211reldmmpo 7274 . . . 4 Rel dom Σg
1312ovprc1 7184 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = ∅)
14 fvprc 6656 . . . 4 𝐺 ∈ V → (0g𝐺) = ∅)
152, 14syl5eq 2865 . . 3 𝐺 ∈ V → 0 = ∅)
1613, 15eqtr4d 2856 . 2 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
1710, 16pm2.61i 183 1 (𝐺 Σg ∅) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  [wsbc 3769  csb 3880  cdif 3930  wss 3933  c0 4288  ifcif 4463  ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549  cima 5551  ccom 5552  cio 6305  wf 6344  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  1c1 10526  cuz 12231  ...cfz 12880  seqcseq 13357  chash 13678  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701   Σg cgsu 16702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-seq 13358  df-gsum 16704
This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  17989  gsumccatOLD  17993  gsumccat  17994  gsumwmhm  17998  gsumwspan  17999  frmdgsum  18015  frmdup1  18017  mulgnn0gsum  18172  gsumwrev  18432  gsmsymgrfix  18485  gsmsymgreq  18489  psgnunilem2  18552  psgn0fv0  18568  psgnsn  18577  psgnprfval1  18579  gsumconst  18983  mplmonmul  20173  mplcoe1  20174  mplcoe5  20177  coe1fzgsumd  20398  evl1gsumd  20448  gsumfsum  20540  mdet0pr  21129  madugsum  21180  tmdgsum  22631  xrge0gsumle  23368  xrge0tsms  23369  jensen  25493  xrge0tsmsd  30619  gsumle  30652  cyc3genpmlem  30720  gsumvsca1  30781  gsumvsca2  30782  esumnul  31206  esumsnf  31222  sitg0  31503  mrsub0  32660  matunitlindflem1  34769  lincval0  44398
  Copyright terms: Public domain W3C validator