MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum2dlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsum2dlem1 19019
Description: Lemma 1 for gsum2d 19021. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d.z 0 = (0g𝐺)
gsum2d.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d.a (𝜑𝐴𝑉)
gsum2d.r (𝜑 → Rel 𝐴)
gsum2d.d (𝜑𝐷𝑊)
gsum2d.s (𝜑 → dom 𝐴𝐷)
gsum2d.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsum2d.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsum2dlem1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   0 ,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑗,𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2dlem1
StepHypRef Expression
1 gsum2d.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsum2d.z . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsum2d.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsum2d.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 imaexg 7609 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
7 vex 3495 . . . . 5 𝑗 ∈ V
8 vex 3495 . . . . 5 𝑘 ∈ V
97, 8elimasn 5947 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
10 df-ov 7148 . . . . 5 (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
11 gsum2d.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
1211ffvelrnda 6843 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) ∈ 𝐵)
1310, 12eqeltrid 2914 . . . 4 ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴) → (𝑗𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
149, 13sylan2b 593 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗})) → (𝑗𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
1514fmpttd 6871 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)):(𝐴 “ {𝑗})⟶𝐵)
16 gsum2d.w . . . . 5 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
1716fsuppimpd 8828 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
18 rnfi 8795 . . . 4 ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → ran (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
1917, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
209biimpi 217 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
217, 8opelrn 5806 . . . . . . . 8 (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → 𝑘 ∈ ran (𝐹 supp 0 ))
2221con3i 157 . . . . . . 7 𝑘 ∈ ran (𝐹 supp 0 ) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
2320, 22anim12i 612 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ran (𝐹 supp 0 )) → (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴 ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )))
24 eldif 3943 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝐴 “ {𝑗}) ∖ ran (𝐹 supp 0 )) ↔ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ran (𝐹 supp 0 )))
25 eldif 3943 . . . . . 6 (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 )) ↔ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴 ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )))
2623, 24, 253imtr4i 293 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝐴 “ {𝑗}) ∖ ran (𝐹 supp 0 )) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 )))
27 ssidd 3987 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
282fvexi 6677 . . . . . . . 8 0 ∈ V
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑0 ∈ V)
3011, 27, 4, 29suppssr 7850 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
3110, 30syl5eq 2865 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
3226, 31sylan2 592 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐴 “ {𝑗}) ∖ ran (𝐹 supp 0 ))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
3332, 6suppss2 7853 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) supp 0 ) ⊆ ran (𝐹 supp 0 ))
3419, 33ssfid 8729 . 2 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) supp 0 ) ∈ Fin)
351, 2, 3, 6, 15, 34gsumcl2 18963 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cdif 3930  wss 3933  {csn 4557  cop 4563   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  ran crn 5549  cima 5551  Rel wrel 5553  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145   supp csupp 7819  Fincfn 8497   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16471  0gc0g 16701   Σg cgsu 16702  CMndccmn 18835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-cntz 18385  df-cmn 18837
This theorem is referenced by:  gsum2dlem2  19020  gsum2d  19021
  Copyright terms: Public domain W3C validator