Theorem gsumbagdiag 20150

Description: Two-dimensional commutation of a group sum over a "triangular" region. fsum0diag 15126 analogue for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.1	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
gsumbagdiag.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
gsumbagdiag.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
gsumbagdiag.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumbagdiag.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumbagdiag.x	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumbagdiag	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆, 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑘)} ↦ 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦,𝐹   𝑓,𝐺,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑓,𝐼,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑘   𝑆,𝑗,𝑘,𝑥   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑓,𝑋,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝐼(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑓,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumbagdiag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumbagdiag.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2821	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsumbagdiag.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		psrbagconf1o.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
5		gsumbagdiag.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		gsumbagdiag.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
7		psrbag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8	7	psrbaglefi 20146	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹} ∈ Fin)
9	5, 6, 8	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹} ∈ Fin)
10	4, 9	eqeltrid 2917	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
11		ovex 7183	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
12	7, 11	rab2ex 5230	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)} ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)} ∈ V)
14		gsumbagdiag.x	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		xpfi 8783	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
16	10, 10, 15	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) ∈ Fin)
17		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → 𝑗 ∈ 𝑆)
18	7, 4, 5, 6	gsumbagdiaglem 20149	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑘)}))
19	18	simpld 497	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → 𝑘 ∈ 𝑆)
20		brxp 5595	. . . . 5 ⊢ (𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘 ↔ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆))
21	17, 19, 20	sylanbrc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘)
22	21	pm2.24d 154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)})) → (¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘 → 𝑋 = (0g‘𝐺)))
23	22	impr 457	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)}) ∧ ¬ 𝑗(𝑆 × 𝑆)𝑘)) → 𝑋 = (0g‘𝐺))
24	7, 4, 5, 6	gsumbagdiaglem 20149	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑘)})) → (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)}))
25	18, 24	impbida 799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)}) ↔ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑘)})))
26	1, 2, 3, 10, 13, 14, 16, 23, 10, 25	gsumcom2 19089	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝑆, 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑆, 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑥 ∘r ≤ (𝐹 ∘f − 𝑘)} ↦ 𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142  Vcvv 3494   class class class wbr 5058   × cxp 5547  ^◡ccnv 5548   “ cima 5552  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152   ∘_f cof 7401   ∘_r cofr 7402   ↑_m cmap 8400  Fincfn 8503   ≤ cle 10670   − cmin 10864  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  Basecbs 16477  0_gc0g 16707   Σ_g cgsu 16708  CMndccmn 18900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-cntz 18441  df-cmn 18902

This theorem is referenced by:  psrass1lem  20151