MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumcl 18297
Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumcl.z 0 = (0g𝐺)
gsumcl.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumcl.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumcl.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumcl.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumcl (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gsumcl
StepHypRef Expression
1 gsumcl.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumcl.z . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumcl.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsumcl.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
5 gsumcl.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
6 gsumcl.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
76fsuppimpd 8267 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
81, 2, 3, 4, 5, 7gsumcl2 18296 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988   class class class wbr 4644  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635   finSupp cfsupp 8260  Basecbs 15838  0gc0g 16081   Σg cgsu 16082  CMndccmn 18174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-cntz 17731  df-cmn 18176
This theorem is referenced by:  gsummhm2  18320  gsumsub  18329  gsummptcl  18347  prdsgsum  18358  gsumdixp  18590  psrass1lem  19358  psrmulcllem  19368  psrbagev2  19492  evlslem3  19495  evlslem1  19496  gsumsmonply1  19654  frlmphl  20101  frlmup1  20118  islindf4  20158  pmatcollpw1  20562  pm2mpcl  20583  mply1topmatcl  20591  mp2pm2mplem2  20593  mp2pm2mp  20597  pm2mpmhmlem2  20605  cayhamlem4  20674  tsmslem1  21913  tsmsgsum  21923  tsmsid  21924  tsmssubm  21927  tsmsxplem1  21937  tsmsxplem2  21938  imasdsf1olem  22159  xrge0gsumle  22617  xrge0tsms  22618  amgm  24698  lgseisenlem3  25083  lgseisenlem4  25084  gsumle  29753  gsumvsca1  29756  gsumvsca2  29757  xrge0tsmsd  29759  matunitlindflem1  33376  gsumge0cl  40351  ply1mulgsum  41943  lincfsuppcl  41967  linccl  41968  lincresunit3  42035  amgmlemALT  42314
  Copyright terms: Public domain W3C validator