Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumlsscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumlsscl 44359
Description: Closure of a group sum in a linear subspace: A (finitely supported) sum of scalar multiplications of vectors of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumlsscl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
gsumlsscl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
gsumlsscl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
gsumlsscl ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → ((𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑣,𝐹   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑆   𝑣,𝑉   𝑣,𝑍

Proof of Theorem gsumlsscl
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
2 lmodabl 19610 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
323ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑀 ∈ Abel)
43adantr 481 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → 𝑀 ∈ Abel)
5 ssexg 5218 . . . . . 6 ((𝑉𝑍𝑍𝑆) → 𝑉 ∈ V)
65ancoms 459 . . . . 5 ((𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑉 ∈ V)
763adant1 1122 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑉 ∈ V)
87adantr 481 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → 𝑉 ∈ V)
9 3simpa 1140 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆))
10 gsumlsscl.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
1110lsssubg 19658 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
129, 11syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
1312adantr 481 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
149adantr 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆))
1514adantr 481 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆))
16 elmapi 8417 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) → 𝐹:𝑉𝐵)
17 ffvelrn 6841 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑉𝐵𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵)
1817ex 413 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑉𝐵 → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵))
1916, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵))
2019ad2antrl 724 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵))
2120imp 407 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵)
22 ssel 3958 . . . . . . . 8 (𝑉𝑍 → (𝑣𝑉𝑣𝑍))
23223ad2ant3 1127 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → (𝑣𝑉𝑣𝑍))
2423adantr 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑣𝑉𝑣𝑍))
2524imp 407 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑍)
26 gsumlsscl.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
27 eqid 2818 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
28 gsumlsscl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2926, 27, 28, 10lssvscl 19656 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆) ∧ ((𝐹𝑣) ∈ 𝐵𝑣𝑍)) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝑍)
3015, 21, 25, 29syl12anc 832 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝑍)
3130fmpttd 6871 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)):𝑉𝑍)
32 simp1 1128 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑀 ∈ LMod)
33 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3433, 10lssss 19637 . . . . . . . . . 10 (𝑍𝑆𝑍 ⊆ (Base‘𝑀))
35 sstr 3972 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑍𝑍 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
3635expcom 414 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉𝑍𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
3734, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑍𝑆 → (𝑉𝑍𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → (𝑍𝑆 → (𝑉𝑍𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))))
39383imp 1103 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
40 elpwg 4541 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
417, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
4239, 41mpbird 258 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
4332, 42jca 512 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
4443adantr 481 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
45 simprl 767 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → 𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉))
46 simprr 769 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → 𝐹 finSupp (0g𝑅))
4726, 28scmfsupp 44354 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅)) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
4844, 45, 46, 47syl3anc 1363 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
491, 4, 8, 13, 31, 48gsumsubgcl 18969 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍)
5049ex 413 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → ((𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  wss 3933  𝒫 cpw 4535   class class class wbr 5057  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701   Σg cgsu 16702  SubGrpcsubg 18211  Abelcabl 18836  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-lmod 19565  df-lss 19633
This theorem is referenced by:  lincellss  44409
  Copyright terms: Public domain W3C validator