Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumlsscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumlsscl 42489
Description: Closure of a group sum in a linear subspace: A (finitely supported) sum of scalar multiplications of vectors of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumlsscl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
gsumlsscl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
gsumlsscl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
gsumlsscl ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → ((𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑣,𝐹   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑆   𝑣,𝑉   𝑣,𝑍

Proof of Theorem gsumlsscl
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
2 lmodabl 18958 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
323ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑀 ∈ Abel)
43adantr 480 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → 𝑀 ∈ Abel)
5 ssexg 4837 . . . . . 6 ((𝑉𝑍𝑍𝑆) → 𝑉 ∈ V)
65ancoms 468 . . . . 5 ((𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑉 ∈ V)
763adant1 1099 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑉 ∈ V)
87adantr 480 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → 𝑉 ∈ V)
9 3simpa 1078 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆))
10 gsumlsscl.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
1110lsssubg 19005 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
129, 11syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
1312adantr 480 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
149adantr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆))
1514adantr 480 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆))
16 elmapi 7921 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) → 𝐹:𝑉𝐵)
17 ffvelrn 6397 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑉𝐵𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵)
1817ex 449 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑉𝐵 → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵))
1916, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵))
2019ad2antrl 764 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵))
2120imp 444 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵)
22 ssel 3630 . . . . . . . 8 (𝑉𝑍 → (𝑣𝑉𝑣𝑍))
23223ad2ant3 1104 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → (𝑣𝑉𝑣𝑍))
2423adantr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑣𝑉𝑣𝑍))
2524imp 444 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑍)
26 gsumlsscl.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
27 eqid 2651 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
28 gsumlsscl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2926, 27, 28, 10lssvscl 19003 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆) ∧ ((𝐹𝑣) ∈ 𝐵𝑣𝑍)) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝑍)
3015, 21, 25, 29syl12anc 1364 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝑍)
31 eqid 2651 . . . 4 (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))
3230, 31fmptd 6425 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)):𝑉𝑍)
33 simp1 1081 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑀 ∈ LMod)
34 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3534, 10lssss 18985 . . . . . . . . . 10 (𝑍𝑆𝑍 ⊆ (Base‘𝑀))
36 sstr 3644 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑍𝑍 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
3736expcom 450 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉𝑍𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
3835, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑍𝑆 → (𝑉𝑍𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → (𝑍𝑆 → (𝑉𝑍𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))))
40393imp 1275 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
41 elpwg 4199 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
427, 41syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
4340, 42mpbird 247 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
4433, 43jca 553 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
4544adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
46 simprl 809 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → 𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉))
47 simprr 811 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → 𝐹 finSupp (0g𝑅))
4826, 28scmfsupp 42484 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅)) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
4945, 46, 47, 48syl3anc 1366 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
501, 4, 8, 13, 32, 49gsumsubgcl 18366 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍)
5150ex 449 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → ((𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  SubGrpcsubg 17635  Abelcabl 18240  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-lmod 18913  df-lss 18981
This theorem is referenced by:  lincellss  42540
  Copyright terms: Public domain W3C validator