MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummatr01lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummatr01lem3 21194
Description: Lemma 1 for gsummatr01 21196. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummatr01.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
gsummatr01.r 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
gsummatr01.0 0 = (0g𝐺)
gsummatr01.s 𝑆 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsummatr01lem3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺)(𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑛   𝐵,𝑖,𝑗,𝑛   𝑖,𝐺,𝑗,𝑛   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝐾,𝑟   𝑖,𝐿,𝑗,𝑛   𝐿,𝑟   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑄,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   𝑆,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑛)   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)   𝐺(𝑟)   𝑁(𝑟)   0 (𝑟)

Proof of Theorem gsummatr01lem3
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . 2 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 eqid 2818 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 simpl 483 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ CMnd)
433ad2ant1 1125 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐺 ∈ CMnd)
5 diffi 8738 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
65adantl 482 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
763ad2ant1 1125 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
8 eqidd 2819 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
9 eqeq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
11 eqeq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑄𝑛) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄𝑛) = 𝐿))
1211ifbid 4485 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑄𝑛) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
1312adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
14 oveq12 7154 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
1510, 13, 14ifbieq12d 4490 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
16 eldifsni 4714 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝐾)
1716neneqd 3018 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑛 = 𝐾)
1817iffalsed 4474 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
1918adantl 482 . . . . . 6 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
2015, 19sylan9eqr 2875 . . . . 5 ((((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
21 eldifi 4100 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝑁)
2221adantl 482 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛𝑁)
23 gsummatr01.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
24 gsummatr01.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
2523, 24gsummatr01lem1 21192 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑅𝑛𝑁) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
2625expcom 414 . . . . . . . 8 (𝑛𝑁 → (𝑄𝑅 → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁))
2726, 21syl11 33 . . . . . . 7 (𝑄𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁))
28273ad2ant3 1127 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁))
2928imp 407 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
30 ovexd 7180 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ V)
318, 20, 22, 29, 30ovmpod 7291 . . . 4 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
32313ad2antl3 1179 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
33 gsummatr01.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝐺)
3433eleq2i 2901 . . . . . . . 8 ((𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ↔ (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺))
35342ralbii 3163 . . . . . . 7 (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺))
3623, 24gsummatr01lem2 21193 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑅𝑛𝑁) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
3721, 36sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑅𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
3837ex 413 . . . . . . . . 9 (𝑄𝑅 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
39383ad2ant3 1127 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
4039com3r 87 . . . . . . 7 (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
4135, 40sylbi 218 . . . . . 6 (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 → ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
4241adantr 481 . . . . 5 ((∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) → ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
4342imp31 418 . . . 4 ((((∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
44433adantl1 1158 . . 3 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
4532, 44eqeltrd 2910 . 2 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
46 simp31 1201 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐾𝑁)
47 neldifsnd 4718 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → ¬ 𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
48 eqidd 2819 . . . . . 6 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
49 iftrue 4469 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐾 → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵))
50 eqeq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑄𝐾) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄𝐾) = 𝐿))
5150ifbid 4485 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑄𝐾) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
5249, 51sylan9eq 2873 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝐾𝑗 = (𝑄𝐾)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
5352adantl 482 . . . . . 6 (((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ (𝑖 = 𝐾𝑗 = (𝑄𝐾))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
54 simpr1 1186 . . . . . 6 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐾𝑁)
5523, 24gsummatr01lem1 21192 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑅𝐾𝑁) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
5655ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝑄𝑅) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
57563adant2 1123 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
5857adantl 482 . . . . . 6 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
59 gsummatr01.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
6059fvexi 6677 . . . . . . 7 0 ∈ V
61 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐵𝑆)
62 ifexg 4510 . . . . . . 7 (( 0 ∈ V ∧ 𝐵𝑆) → if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵) ∈ V)
6360, 61, 62sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵) ∈ V)
6448, 53, 54, 58, 63ovmpod 7291 . . . . 5 ((𝐵𝑆 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
6564adantll 710 . . . 4 (((∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
66653adant1 1122 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)) = if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵))
67 cmnmnd 18851 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
681, 59mndidcl 17914 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
6967, 68syl 17 . . . . . 6 (𝐺 ∈ CMnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
7069adantr 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
71703ad2ant1 1125 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
7233eleq2i 2901 . . . . . . 7 (𝐵𝑆𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
7372biimpi 217 . . . . . 6 (𝐵𝑆𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
7473adantl 482 . . . . 5 ((∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
75743ad2ant2 1126 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
7671, 75ifcld 4508 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → if((𝑄𝐾) = 𝐿, 0 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
7766, 76eqeltrd 2910 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)) ∈ (Base‘𝐺))
78 id 22 . . 3 (𝑛 = 𝐾𝑛 = 𝐾)
79 fveq2 6663 . . 3 (𝑛 = 𝐾 → (𝑄𝑛) = (𝑄𝐾))
8078, 79oveq12d 7163 . 2 (𝑛 = 𝐾 → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)))
811, 2, 4, 7, 45, 46, 47, 77, 80gsumunsn 19009 1 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺)(𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  Vcvv 3492  cdif 3930  cun 3931  ifcif 4463  {csn 4557  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  Fincfn 8497  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701   Σg cgsu 16702  Mndcmnd 17899  SymGrpcsymg 18433  CMndccmn 18835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-tset 16572  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-symg 18434  df-cmn 18837
This theorem is referenced by:  gsummatr01  21196
  Copyright terms: Public domain W3C validator