MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummgp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummgp0 18589
Description: If one factor in a finite group sum of the multiplicative group of a commutative ring is 0, the whole "sum" (i.e. product) is 0. (Contributed by AV, 3-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummgp0.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
gsummgp0.0 0 = (0g𝑅)
gsummgp0.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
gsummgp0.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
gsummgp0.a ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
gsummgp0.e ((𝜑𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
gsummgp0.b (𝜑 → ∃𝑖𝑁 𝐵 = 0 )
Assertion
Ref Expression
gsummgp0 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛𝑁𝐴)) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑛   𝑖,𝑛,𝐺   𝑖,𝑁,𝑛   𝑅,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛   0 ,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑖)   𝑅(𝑖)

Proof of Theorem gsummgp0
StepHypRef Expression
1 gsummgp0.b . 2 (𝜑 → ∃𝑖𝑁 𝐵 = 0 )
2 difsnid 4332 . . . . . . 7 (𝑖𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) = 𝑁)
32eqcomd 2626 . . . . . 6 (𝑖𝑁𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
43ad2antrl 763 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
54mpteq1d 4729 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → (𝑛𝑁𝐴) = (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴))
65oveq2d 6651 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴)))
7 gsummgp0.g . . . . 5 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
8 eqid 2620 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
97, 8mgpbas 18476 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
10 eqid 2620 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
117, 10mgpplusg 18474 . . . 4 (.r𝑅) = (+g𝐺)
12 gsummgp0.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
137crngmgp 18536 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
1514adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
16 gsummgp0.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
17 diffi 8177 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
1918adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
20 simpl 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → 𝜑)
21 eldifi 3724 . . . . 5 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) → 𝑛𝑁)
22 gsummgp0.a . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
2320, 21, 22syl2an 494 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
24 simprl 793 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → 𝑖𝑁)
25 neldifsnd 4313 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → ¬ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}))
26 crngring 18539 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2712, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
28 ringmnd 18537 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
29 gsummgp0.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
308, 29mndidcl 17289 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
3127, 28, 303syl 18 . . . . . 6 (𝜑0 ∈ (Base‘𝑅))
3231adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
33 eleq1 2687 . . . . . 6 (𝐵 = 0 → (𝐵 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
3433ad2antll 764 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → (𝐵 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
3532, 34mpbird 247 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
36 gsummgp0.e . . . . 5 ((𝜑𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
3736adantlr 750 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
389, 11, 15, 19, 23, 24, 25, 35, 37gsumunsnd 18338 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r𝑅)𝐵))
39 oveq2 6643 . . . . 5 (𝐵 = 0 → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r𝑅)𝐵) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r𝑅) 0 ))
4039ad2antll 764 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r𝑅)𝐵) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r𝑅) 0 ))
4127adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
4221, 22sylan2 491 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
4342ralrimiva 2963 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
449, 14, 18, 43gsummptcl 18347 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
4544adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
468, 10, 29ringrz 18569 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r𝑅) 0 ) = 0 )
4741, 45, 46syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r𝑅) 0 ) = 0 )
4840, 47eqtrd 2654 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r𝑅)𝐵) = 0 )
496, 38, 483eqtrd 2658 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑁𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁𝐴)) = 0 )
501, 49rexlimddv 3031 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛𝑁𝐴)) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wrex 2910  cdif 3564  cun 3565  {csn 4168  cmpt 4720  cfv 5876  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  Basecbs 15838  .rcmulr 15923  0gc0g 16081   Σg cgsu 16082  Mndcmnd 17275  CMndccmn 18174  mulGrpcmgp 18470  Ringcrg 18528  CRingccrg 18529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-mgp 18471  df-ring 18530  df-cring 18531
This theorem is referenced by:  smadiadetlem0  20448
  Copyright terms: Public domain W3C validator