Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummhm2 18385
 Description: Apply a group homomorphism to a group sum, mapping version with implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummhm2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm2.z 0 = (0g𝐺)
gsummhm2.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm2.h (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
gsummhm2.a (𝜑𝐴𝑉)
gsummhm2.k (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummhm2.f ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsummhm2.w (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
gsummhm2.1 (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝐷)
gsummhm2.2 (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
gsummhm2 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘𝐴𝐷)) = 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑥   𝐶,𝑘   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑘   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gsummhm2
StepHypRef Expression
1 gsummhm2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummhm2.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsummhm2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsummhm2.h . . 3 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
5 gsummhm2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 gsummhm2.k . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
7 gsummhm2.f . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
8 eqid 2651 . . . 4 (𝑘𝐴𝑋) = (𝑘𝐴𝑋)
97, 8fmptd 6425 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋):𝐴𝐵)
10 gsummhm2.w . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10gsummhm 18384 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥𝐵𝐶) ∘ (𝑘𝐴𝑋))) = ((𝑥𝐵𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋))))
12 eqidd 2652 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) = (𝑘𝐴𝑋))
13 eqidd 2652 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) = (𝑥𝐵𝐶))
14 gsummhm2.1 . . . 4 (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝐷)
157, 12, 13, 14fmptco 6436 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∘ (𝑘𝐴𝑋)) = (𝑘𝐴𝐷))
1615oveq2d 6706 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥𝐵𝐶) ∘ (𝑘𝐴𝑋))) = (𝐻 Σg (𝑘𝐴𝐷)))
171, 2, 3, 5, 9, 10gsumcl 18362 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) ∈ 𝐵)
18 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
191, 18mhmf 17387 . . . . . 6 ((𝑥𝐵𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
206, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
21 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑥𝐵𝐶) = (𝑥𝐵𝐶)
2221fmpt 6421 . . . . 5 (∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
2320, 22sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻))
24 gsummhm2.2 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)
2524eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) → (𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝐸 ∈ (Base‘𝐻)))
2625rspcv 3336 . . . 4 ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) ∈ 𝐵 → (∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻) → 𝐸 ∈ (Base‘𝐻)))
2717, 23, 26sylc 65 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (Base‘𝐻))
2824, 21fvmptg 6319 . . 3 (((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) ∈ 𝐵𝐸 ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝑥𝐵𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋))) = 𝐸)
2917, 27, 28syl2anc 694 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋))) = 𝐸)
3011, 16, 293eqtr3d 2693 1 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘𝐴𝐷)) = 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   ∘ ccom 5147  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341   MndHom cmhm 17380  CMndccmn 18239 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-cntz 17796  df-cmn 18241 This theorem is referenced by:  gsummulglem  18387  prdsgsum  18423  srgsummulcr  18583  sgsummulcl  18584  gsummulc1  18652  gsummulc2  18653  gsumvsmul  18975  lgseisenlem4  25148
 Copyright terms: Public domain W3C validator