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Theorem gsummoncoe1 19722
Description: A coefficient of the polynomial represented as a sum of scaled monomials is the coefficient of the corresponding scaled monomial. (Contributed by AV, 13-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummonply1.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
gsummonply1.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
gsummonply1.x 𝑋 = (var1𝑅)
gsummonply1.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsummonply1.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
gsummonply1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsummonply1.m = ( ·𝑠𝑃)
gsummonply1.0 0 = (0g𝑅)
gsummonply1.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾)
gsummonply1.f (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) finSupp 0 )
gsummonply1.l (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
gsummoncoe1 (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐿 / 𝑘𝐴)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘   ,𝑘   𝑘,𝐿   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   0 ,𝑘   ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsummoncoe1
Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummonply1.f . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) finSupp 0 )
2 gsummonply1.a . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾)
32r19.21bi 2961 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴𝐾)
4 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) = (𝑘 ∈ ℕ0𝐴)
53, 4fmptd 6425 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴):ℕ0𝐾)
6 gsummonply1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑅)
7 fvex 6239 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) ∈ V
86, 7eqeltri 2726 . . . . . . 7 𝐾 ∈ V
98a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ V)
10 nn0ex 11336 . . . . . 6 0 ∈ V
11 elmapg 7912 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴) ∈ (𝐾𝑚0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐴):ℕ0𝐾))
129, 10, 11sylancl 695 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴) ∈ (𝐾𝑚0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐴):ℕ0𝐾))
135, 12mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) ∈ (𝐾𝑚0))
14 gsummonply1.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
15 fvex 6239 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
1614, 15eqeltri 2726 . . . 4 0 ∈ V
17 fsuppmapnn0ub 12835 . . . 4 (((𝑘 ∈ ℕ0𝐴) ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴) finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0 )))
1813, 16, 17sylancl 695 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴) finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0 )))
191, 18mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0 ))
20 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
212ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾)
22 rspcsbela 4039 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾) → 𝑥 / 𝑘𝐴𝐾)
2320, 21, 22syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 / 𝑘𝐴𝐾)
244fvmpts 6324 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐴𝐾) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐴)
2520, 23, 24syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐴)
2625eqeq1d 2653 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ))
2726imbi2d 329 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )))
2827biimpd 219 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0 ) → (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )))
2928ralimdva 2991 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )))
30 nfv 1883 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑠 ∈ ℕ0)
31 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑘0
32 nfv 1883 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 𝑠 < 𝑥
33 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑥 / 𝑘𝐴
3433nfeq1 2807 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑥 / 𝑘𝐴 = 0
3532, 34nfim 1865 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )
3631, 35nfral 2974 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )
3730, 36nfan 1868 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ))
38 gsummonply1.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑃)
39 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (0g𝑃) = (0g𝑃)
40 gsummonply1.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
41 gsummonply1.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (Poly1𝑅)
4241ply1ring 19666 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
43 ringcmn 18627 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
4440, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ CMnd)
4544ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → 𝑃 ∈ CMnd)
46403ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
47 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐴𝐾)
48 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49 gsummonply1.x . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑋 = (var1𝑅)
50 gsummonply1.m . . . . . . . . . . . . . . 15 = ( ·𝑠𝑃)
51 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
52 gsummonply1.e . . . . . . . . . . . . . . 15 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
536, 41, 49, 50, 51, 52, 38ply1tmcl 19690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐾𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
5446, 47, 48, 53syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
55543expia 1286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐾 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵))
5655ralimdva 2991 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵))
572, 56mpd 15 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
5857ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
59 simplr 807 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → 𝑠 ∈ ℕ0)
60 nfv 1883 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑠 < 𝑘𝑘 / 𝑘𝐴 = 0 )
61 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑘 → (𝑠 < 𝑥𝑠 < 𝑘))
62 csbeq1 3569 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘𝑥 / 𝑘𝐴 = 𝑘 / 𝑘𝐴)
6362eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 / 𝑘𝐴 = 0𝑘 / 𝑘𝐴 = 0 ))
6461, 63imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑘𝑘 / 𝑘𝐴 = 0 )))
6535, 60, 64cbvral 3197 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑘𝑘 / 𝑘𝐴 = 0 ))
66 csbid 3574 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘 / 𝑘𝐴 = 𝐴
6766eqeq1i 2656 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 / 𝑘𝐴 = 0𝐴 = 0 )
68 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = 0 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = ( 0 (𝑘 𝑋)))
6941ply1sca 19671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
7040, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
7170fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
7214, 71syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑0 = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
7372ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
7473oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ( 0 (𝑘 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) (𝑘 𝑋)))
7541ply1lmod 19670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
7640, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
7776ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
7851ringmgp 18599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
7940, 42, 783syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
8079ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
81 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
8349, 41, 82vr1cl 19635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
8440, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
8584ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
8651, 82mgpbas 18541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
8786, 52mulgnn0cl 17605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
8880, 81, 85, 87syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
89 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
90 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
9182, 89, 50, 90, 39lmod0vs 18944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))
9277, 88, 91syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))
9374, 92eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ( 0 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))
9468, 93sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0 ) → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))
9594ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 0 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃)))
9667, 95syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 / 𝑘𝐴 = 0 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃)))
9796imim2d 57 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑘𝑘 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑠 < 𝑘 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))))
9897ralimdva 2991 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑘𝑘 / 𝑘𝐴 = 0 ) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑘 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))))
9965, 98syl5bi 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑘 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))))
10099imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑘 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃)))
10137, 38, 39, 45, 58, 59, 100gsummptnn0fz 18428 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))
102101fveq2d 6233 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋))))))
103102fveq1d 6231 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿))
10440ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
105 gsummonply1.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
106105ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → 𝐿 ∈ ℕ0)
107 elfznn0 12471 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑠) → 𝑘 ∈ ℕ0)
108 simpll 805 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝜑)
1093adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴𝐾)
110108, 81, 1093jca 1261 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝜑𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝐾))
111107, 110sylan2 490 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → (𝜑𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝐾))
112111, 54syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → (𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
113112ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ (0...𝑠)(𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
114113adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → ∀𝑘 ∈ (0...𝑠)(𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
115 fzfid 12812 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (0...𝑠) ∈ Fin)
11641, 38, 104, 106, 114, 115coe1fzgsumd 19720 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe1‘(𝐴 (𝑘 𝑋)))‘𝐿))))
11740ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝑅 ∈ Ring)
1183expcom 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑𝐴𝐾))
119118, 107syl11 33 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → 𝐴𝐾))
120119ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → 𝐴𝐾))
121120imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝐴𝐾)
122107adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12314, 6, 41, 49, 50, 51, 52coe1tm 19691 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐾𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐴 (𝑘 𝑋))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑘, 𝐴, 0 )))
124117, 121, 122, 123syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → (coe1‘(𝐴 (𝑘 𝑋))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑘, 𝐴, 0 )))
125 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐿 → (𝑛 = 𝑘𝐿 = 𝑘))
126125ifbid 4141 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐿 → if(𝑛 = 𝑘, 𝐴, 0 ) = if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))
127126adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) ∧ 𝑛 = 𝐿) → if(𝑛 = 𝑘, 𝐴, 0 ) = if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))
128105ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
1296, 14ring0cl 18615 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐾)
13040, 129syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑0𝐾)
131130ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 0𝐾)
132121, 131ifcld 4164 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
133124, 127, 128, 132fvmptd 6327 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → ((coe1‘(𝐴 (𝑘 𝑋)))‘𝐿) = if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))
13437, 133mpteq2da 4776 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe1‘(𝐴 (𝑘 𝑋)))‘𝐿)) = (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 )))
135134oveq2d 6706 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe1‘(𝐴 (𝑘 𝑋)))‘𝐿))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))))
136 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝐿 → (𝑠 < 𝑥𝑠 < 𝐿))
137 csbeq1 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝐿𝑥 / 𝑘𝐴 = 𝐿 / 𝑘𝐴)
138137eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝐿 → (𝑥 / 𝑘𝐴 = 0𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ))
139136, 138imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐿 → ((𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝐿𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 )))
140139rspcva 3338 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑠 < 𝐿𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ))
141 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿))
142 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘𝐿 / 𝑘𝐴
143142nfeq1 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘𝐿 / 𝑘𝐴 = 0
144141, 143nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 )
145 elfz2nn0 12469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0𝑘𝑠))
146 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
147146ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
148 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℝ)
149148adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℝ)
150149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℝ)
151 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
152151adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
153 lelttr 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑠𝑠 < 𝐿) → 𝑘 < 𝐿))
154147, 150, 152, 153syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑘𝑠𝑠 < 𝐿) → 𝑘 < 𝐿))
155 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝐿) → 𝑘 < 𝐿)
156155olcd 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝐿) → (𝐿 < 𝑘𝑘 < 𝐿))
157 df-ne 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐿𝑘 ↔ ¬ 𝐿 = 𝑘)
158146adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
159 lttri2 10158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐿𝑘 ↔ (𝐿 < 𝑘𝑘 < 𝐿)))
160151, 158, 159syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿𝑘 ↔ (𝐿 < 𝑘𝑘 < 𝐿)))
161160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝐿) → (𝐿𝑘 ↔ (𝐿 < 𝑘𝑘 < 𝐿)))
162157, 161syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝐿) → (¬ 𝐿 = 𝑘 ↔ (𝐿 < 𝑘𝑘 < 𝐿)))
163156, 162mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝐿) → ¬ 𝐿 = 𝑘)
164163ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑘 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘))
165154, 164syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑘𝑠𝑠 < 𝐿) → ¬ 𝐿 = 𝑘))
166165exp4b 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑘𝑠 → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘))))
167166expimpd 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑠 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑘𝑠 → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘))))
168167com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘𝑠 → ((𝑠 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘))))
169168imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑘𝑠) → ((𝑠 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘)))
1701693adant2 1100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0𝑘𝑠) → ((𝑠 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘)))
171145, 170sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ((𝑠 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘)))
172171expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 ∈ (0...𝑠) → (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘))))
173105, 172syl7 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 ∈ (0...𝑠) → (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘))))
174173com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → (𝜑 → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘))))
175174com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝑠 < 𝐿 → (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐿 = 𝑘))))
176175imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿) → (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐿 = 𝑘)))
177176impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐿 = 𝑘))
178177adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐿 = 𝑘))
179178imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → ¬ 𝐿 = 𝑘)
180179iffalsed 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ) = 0 )
181144, 180mpteq2da 4776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 )) = (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ 0 ))
182181oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ 0 )))
183 ringmnd 18602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
18440, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
185184adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) → 𝑅 ∈ Mnd)
186 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0...𝑠) ∈ V
18714gsumz 17421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0...𝑠) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ 0 )) = 0 )
188185, 186, 187sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ 0 )) = 0 )
189188adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ 0 )) = 0 )
190 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐿 / 𝑘𝐴 = 0𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 )
191190eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 / 𝑘𝐴 = 00 = 𝐿 / 𝑘𝐴)
192191adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → 0 = 𝐿 / 𝑘𝐴)
193182, 189, 1923eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴)
194193ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) → (𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴))
195194expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝐿 → (𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴)))
196195a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝐿𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑠 < 𝐿 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴)))
197196ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℕ0 → ((𝑠 < 𝐿𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑠 < 𝐿 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴))))
198197com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 < 𝐿𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑠 < 𝐿 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴))))
199140, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑠 < 𝐿 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴))))
200199ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑠 < 𝐿 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴)))))
201200com24 95 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑠 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑠 < 𝐿 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴)))))
202105, 201mpcom 38 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑠 < 𝐿 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴))))
203202imp31 447 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑠 < 𝐿 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴))
204203com12 32 . . . . . . . 8 (𝑠 < 𝐿 → (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴))
205 pm3.2 462 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑠 < 𝐿 → ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑠 < 𝐿)))
206205adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (¬ 𝑠 < 𝐿 → ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑠 < 𝐿)))
207184ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑠 < 𝐿) → 𝑅 ∈ Mnd)
208186a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑠 < 𝐿) → (0...𝑠) ∈ V)
209105nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
210 lenlt 10154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐿𝑠 ↔ ¬ 𝑠 < 𝐿))
211209, 148, 210syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (𝐿𝑠 ↔ ¬ 𝑠 < 𝐿))
212105ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿𝑠) → 𝐿 ∈ ℕ0)
213 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿𝑠) → 𝑠 ∈ ℕ0)
214 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿𝑠) → 𝐿𝑠)
215 elfz2nn0 12469 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ (0...𝑠) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0𝐿𝑠))
216212, 213, 214, 215syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿𝑠) → 𝐿 ∈ (0...𝑠))
217216ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (𝐿𝑠𝐿 ∈ (0...𝑠)))
218211, 217sylbird 250 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑠 < 𝐿𝐿 ∈ (0...𝑠)))
219218imp 444 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑠 < 𝐿) → 𝐿 ∈ (0...𝑠))
220 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 = 𝑘𝑘 = 𝐿)
221 ifbi 4140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 = 𝑘𝑘 = 𝐿) → if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ) = if(𝑘 = 𝐿, 𝐴, 0 ))
222220, 221ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ) = if(𝑘 = 𝐿, 𝐴, 0 )
223222mpteq2i 4774 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 )) = (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝑘 = 𝐿, 𝐴, 0 ))
2243, 6syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
225224ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (Base‘𝑅)))
226225adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (Base‘𝑅)))
227107, 226syl5com 31 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)))
228227impcom 445 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
229228ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ (0...𝑠)𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
230229adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑠 < 𝐿) → ∀𝑘 ∈ (0...𝑠)𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
23114, 207, 208, 219, 223, 230gsummpt1n0 18410 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑠 < 𝐿) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴)
232206, 231syl6com 37 . . . . . . . 8 𝑠 < 𝐿 → (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴))
233204, 232pm2.61i 176 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴)
234135, 233eqtrd 2685 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe1‘(𝐴 (𝑘 𝑋)))‘𝐿))) = 𝐿 / 𝑘𝐴)
235103, 116, 2343eqtrd 2689 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐿 / 𝑘𝐴)
236235ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐿 / 𝑘𝐴))
23729, 236syld 47 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0 ) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐿 / 𝑘𝐴))
238237rexlimdva 3060 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0 ) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐿 / 𝑘𝐴))
23919, 238mpd 15 1 (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐿 / 𝑘𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  csb 3566  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899   finSupp cfsupp 8316  cr 9973  0cc0 9974   < clt 10112  cle 10113  0cn0 11330  ...cfz 12364  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  .gcmg 17587  CMndccmn 18239  mulGrpcmgp 18535  Ringcrg 18593  LModclmod 18911  var1cv1 19594  Poly1cpl1 19595  coe1cco1 19596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-psr 19404  df-mvr 19405  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-vr1 19599  df-ply1 19600  df-coe1 19601
This theorem is referenced by:  gsumply1eq  19723  pm2mpf1lem  20647  pm2mpcoe1  20653  pm2mpmhmlem2  20672  cayleyhamilton1  20745  ply1mulgsum  42503
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