Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummulc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummulc1 18652
 Description: A finite ring sum multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummulc1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulc1.z 0 = (0g𝑅)
gsummulc1.p + = (+g𝑅)
gsummulc1.t · = (.r𝑅)
gsummulc1.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
gsummulc1.a (𝜑𝐴𝑉)
gsummulc1.y (𝜑𝑌𝐵)
gsummulc1.x ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsummulc1.n (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsummulc1 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑋)) · 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsummulc1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummulc1.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 gsummulc1.z . 2 0 = (0g𝑅)
3 gsummulc1.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 18627 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
6 ringmnd 18602 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
73, 6syl 17 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
8 gsummulc1.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsummulc1.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
10 gsummulc1.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
111, 10ringrghm 18651 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
123, 9, 11syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
13 ghmmhm 17717 . . 3 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
1412, 13syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
15 gsummulc1.x . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
16 gsummulc1.n . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
17 oveq1 6697 . 2 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
18 oveq1 6697 . 2 (𝑥 = (𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑋)) → (𝑥 · 𝑌) = ((𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑋)) · 𝑌))
191, 2, 5, 7, 8, 14, 15, 16, 17, 18gsummhm2 18385 1 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑋)) · 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341   MndHom cmhm 17380   GrpHom cghm 17704  CMndccmn 18239  Ringcrg 18593 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595 This theorem is referenced by:  gsumdixp  18655  psrass1  19453  mamuass  20256  mavmulass  20403
 Copyright terms: Public domain W3C validator