Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumncl 30588
Description: Closure of a group sum in a non-commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumncl.k 𝐾 = (Base‘𝑀)
gsumncl.w (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
gsumncl.p (𝜑𝑃 ∈ (ℤ𝑁))
gsumncl.b ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵𝐾)
Assertion
Ref Expression
gsumncl (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) ∈ 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gsumncl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumncl.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑀)
2 eqid 2620 . . 3 (+g𝑀) = (+g𝑀)
3 gsumncl.w . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
4 gsumncl.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ𝑁))
5 gsumncl.b . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵𝐾)
6 eqid 2620 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)
75, 6fmptd 6371 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵):(𝑁...𝑃)⟶𝐾)
81, 2, 3, 4, 7gsumval2 17261 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁((+g𝑀), (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃))
97ffvelrnda 6345 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁...𝑃)) → ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐾)
103adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → 𝑀 ∈ Mnd)
11 simprl 793 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → 𝑥𝐾)
12 simprr 795 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → 𝑦𝐾)
131, 2mndcl 17282 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐾𝑦𝐾) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐾)
1410, 11, 12, 13syl3anc 1324 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐾)
154, 9, 14seqcl 12804 . 2 (𝜑 → (seq𝑁((+g𝑀), (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃) ∈ 𝐾)
168, 15eqeltrd 2699 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  cmpt 4720  cfv 5876  (class class class)co 6635  cuz 11672  ...cfz 12311  seqcseq 12784  Basecbs 15838  +gcplusg 15922   Σg cgsu 16082  Mndcmnd 17275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-seq 12785  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276
This theorem is referenced by:  signstcl  30616  signstf  30617
  Copyright terms: Public domain W3C validator