MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumply1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumply1eq 19656
Description: Two univariate polynomials given as (finitely supported) sum of scaled monomials are equal iff the corresponding coefficients are equal. (Contributed by AV, 21-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumply1eq.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
gsumply1eq.x 𝑋 = (var1𝑅)
gsumply1eq.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsumply1eq.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
gsumply1eq.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsumply1eq.m = ( ·𝑠𝑃)
gsumply1eq.0 0 = (0g𝑅)
gsumply1eq.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾)
gsumply1eq.f1 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) finSupp 0 )
gsumply1eq.b (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵𝐾)
gsumply1eq.f2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐵) finSupp 0 )
gsumply1eq.o (𝜑𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))
gsumply1eq.q (𝜑𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))))
Assertion
Ref Expression
gsumply1eq (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   𝑃,𝑘   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘   0 ,𝑘   ,𝑘   ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumply1eq
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumply1eq.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 gsumply1eq.o . . . 4 (𝜑𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))
3 gsumply1eq.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2620 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5 gsumply1eq.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑅)
6 gsumply1eq.e . . . . 5 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7 gsumply1eq.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 gsumply1eq.m . . . . 5 = ( ·𝑠𝑃)
9 gsumply1eq.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
10 gsumply1eq.a . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾)
11 gsumply1eq.f1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) finSupp 0 )
123, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11gsumsmonply1 19654 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
132, 12eqeltrd 2699 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ (Base‘𝑃))
14 gsumply1eq.q . . . 4 (𝜑𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))))
15 gsumply1eq.b . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵𝐾)
16 gsumply1eq.f2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐵) finSupp 0 )
173, 4, 5, 6, 1, 7, 8, 9, 15, 16gsumsmonply1 19654 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
1814, 17eqeltrd 2699 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝑃))
19 eqid 2620 . . . . 5 (coe1𝑂) = (coe1𝑂)
20 eqid 2620 . . . . 5 (coe1𝑄) = (coe1𝑄)
213, 4, 19, 20ply1coe1eq 19649 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘) ↔ 𝑂 = 𝑄))
2221bicomd 213 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘)))
231, 13, 18, 22syl3anc 1324 . 2 (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘)))
242adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))
25 nfcv 2762 . . . . . . . . . 10 𝑙(𝐴 (𝑘 𝑋))
26 nfcsb1v 3542 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑙 / 𝑘𝐴
27 nfcv 2762 . . . . . . . . . . 11 𝑘
28 nfcv 2762 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑙 𝑋)
2926, 27, 28nfov 6661 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋))
30 csbeq1a 3535 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙𝐴 = 𝑙 / 𝑘𝐴)
31 oveq1 6642 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 𝑋) = (𝑙 𝑋))
3230, 31oveq12d 6653 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))
3325, 29, 32cbvmpt 4740 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))
3433oveq2i 6646 . . . . . . . 8 (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋))))
3524, 34syl6eq 2670 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))))
3635fveq2d 6182 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1𝑂) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋))))))
3736fveq1d 6180 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘))
381adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
39 nfv 1841 . . . . . . . . . 10 𝑙 𝐴𝐾
4026nfel1 2776 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑙 / 𝑘𝐴𝐾
4130eleq1d 2684 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → (𝐴𝐾𝑙 / 𝑘𝐴𝐾))
4239, 40, 41cbvral 3162 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐴𝐾)
4310, 42sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐴𝐾)
4443adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐴𝐾)
45 nfcv 2762 . . . . . . . . . 10 𝑙𝐴
4645, 26, 30cbvmpt 4740 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) = (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐴)
4746, 11syl5eqbrr 4680 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐴) finSupp 0 )
4847adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐴) finSupp 0 )
49 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
503, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 44, 48, 49gsummoncoe1 19655 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘) = 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐴)
51 csbco 3536 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐴 = 𝑘 / 𝑘𝐴
52 csbid 3534 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑘𝐴 = 𝐴
5351, 52eqtri 2642 . . . . . 6 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐴 = 𝐴
5450, 53syl6eq 2670 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐴 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐴)
5537, 54eqtrd 2654 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) = 𝐴)
5614adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))))
57 nfcv 2762 . . . . . . . . . . 11 𝑙(𝐵 (𝑘 𝑋))
58 nfcsb1v 3542 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑙 / 𝑘𝐵
5958, 27, 28nfov 6661 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋))
60 csbeq1a 3535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝑙 / 𝑘𝐵)
6160, 31oveq12d 6653 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵 (𝑘 𝑋)) = (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))
6257, 59, 61cbvmpt 4740 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋))))
6463oveq2d 6651 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵 (𝑘 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))
6556, 64eqtrd 2654 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))
6665fveq2d 6182 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1𝑄) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋))))))
6766fveq1d 6180 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑄)‘𝑘) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘))
68 nfv 1841 . . . . . . . . . 10 𝑙 𝐵𝐾
6958nfel1 2776 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑙 / 𝑘𝐵𝐾
7060eleq1d 2684 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → (𝐵𝐾𝑙 / 𝑘𝐵𝐾))
7168, 69, 70cbvral 3162 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵𝐾 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐵𝐾)
7215, 71sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐵𝐾)
7372adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 𝑙 / 𝑘𝐵𝐾)
74 nfcv 2762 . . . . . . . . . 10 𝑙𝐵
7574, 58, 60cbvmpt 4740 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝐵) = (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐵)
7675, 16syl5eqbrr 4680 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐵) finSupp 0 )
7776adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ ℕ0𝑙 / 𝑘𝐵) finSupp 0 )
783, 4, 5, 6, 38, 7, 8, 9, 73, 77, 49gsummoncoe1 19655 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘) = 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐵)
79 csbco 3536 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑘𝐵
80 csbid 3534 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑘𝐵 = 𝐵
8179, 80eqtri 2642 . . . . . 6 𝑘 / 𝑙𝑙 / 𝑘𝐵 = 𝐵
8278, 81syl6eq 2670 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑙 / 𝑘𝐵 (𝑙 𝑋)))))‘𝑘) = 𝐵)
8367, 82eqtrd 2654 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑄)‘𝑘) = 𝐵)
8455, 83eqeq12d 2635 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘) ↔ 𝐴 = 𝐵))
8584ralbidva 2982 . 2 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑄)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))
8623, 85bitrd 268 1 (𝜑 → (𝑂 = 𝑄 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  csb 3526   class class class wbr 4644  cmpt 4720  cfv 5876  (class class class)co 6635   finSupp cfsupp 8260  0cn0 11277  Basecbs 15838   ·𝑠 cvsca 15926  0gc0g 16081   Σg cgsu 16082  .gcmg 17521  mulGrpcmgp 18470  Ringcrg 18528  var1cv1 19527  Poly1cpl1 19528  coe1cco1 19529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-ofr 6883  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-tset 15941  df-ple 15942  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-ghm 17639  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-srg 18487  df-ring 18530  df-subrg 18759  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-psr 19337  df-mvr 19338  df-mpl 19339  df-opsr 19341  df-psr1 19531  df-vr1 19532  df-ply1 19533  df-coe1 19534
This theorem is referenced by:  chcoeffeqlem  20671
  Copyright terms: Public domain W3C validator