MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumply1subr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumply1subr 19366
Description: Evaluate a group sum in a polynomial ring over a subring. (Contributed by AV, 22-Sep-2019.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgply1.s 𝑆 = (Poly1𝑅)
subrgply1.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgply1.u 𝑈 = (Poly1𝐻)
subrgply1.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
gsumply1subr.s (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
gsumply1subr.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumply1subr.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumply1subr (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumply1subr
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumply1subr.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 gsumply1subr.s . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3 subrgply1.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑅)
4 subrgply1.h . . . . 5 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
5 subrgply1.u . . . . 5 𝑈 = (Poly1𝐻)
6 subrgply1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
73, 4, 5, 6subrgply1 19365 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
8 subrgsubg 18550 . . . . 5 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
9 subgsubm 17380 . . . . 5 (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
112, 7, 103syl 18 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
12 gsumply1subr.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
13 eqid 2604 . . 3 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s 𝐵)
141, 11, 12, 13gsumsubm 17137 . 2 (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = ((𝑆s 𝐵) Σg 𝐹))
15 fex 6367 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
1612, 1, 15syl2anc 690 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
17 ovex 6550 . . . 4 (𝑆s 𝐵) ∈ V
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑆s 𝐵) ∈ V)
19 fvex 6093 . . . . 5 (Poly1𝐻) ∈ V
205, 19eqeltri 2678 . . . 4 𝑈 ∈ V
2120a1i 11 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ V)
22 eqid 2604 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
236oveq2i 6533 . . . . 5 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s (Base‘𝑈))
243, 4, 5, 22, 2, 23ressply1bas 19361 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(𝑆s 𝐵)))
2524eqcomd 2610 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝑆s 𝐵)) = (Base‘𝑈))
2613subrgring 18547 . . . . 5 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
277, 26syl 17 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
28 ringmgm 18321 . . . 4 ((𝑆s 𝐵) ∈ Ring → (𝑆s 𝐵) ∈ Mgm)
292, 27, 283syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑆s 𝐵) ∈ Mgm)
30 simpl 471 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → 𝜑)
313, 4, 5, 6, 2, 13ressply1bas 19361 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = (Base‘(𝑆s 𝐵)))
3231eqcomd 2610 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘(𝑆s 𝐵)) = 𝐵)
3332eleq2d 2667 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ↔ 𝑠𝐵))
3433biimpcd 237 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) → (𝜑𝑠𝐵))
3534adantr 479 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵))) → (𝜑𝑠𝐵))
3635impcom 444 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → 𝑠𝐵)
3732eleq2d 2667 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ↔ 𝑡𝐵))
3837biimpcd 237 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) → (𝜑𝑡𝐵))
3938adantl 480 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵))) → (𝜑𝑡𝐵))
4039impcom 444 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → 𝑡𝐵)
413, 4, 5, 6, 2, 13ressply1add 19362 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵)) → (𝑠(+g𝑈)𝑡) = (𝑠(+g‘(𝑆s 𝐵))𝑡))
4230, 36, 40, 41syl12anc 1315 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → (𝑠(+g𝑈)𝑡) = (𝑠(+g‘(𝑆s 𝐵))𝑡))
4342eqcomd 2610 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → (𝑠(+g‘(𝑆s 𝐵))𝑡) = (𝑠(+g𝑈)𝑡))
44 ffun 5942 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
4512, 44syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐹)
46 frn 5947 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐵)
4712, 46syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹𝐵)
4847, 31sseqtrd 3598 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(𝑆s 𝐵)))
4916, 18, 21, 25, 29, 43, 45, 48gsummgmpropd 17039 . 2 (𝜑 → ((𝑆s 𝐵) Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))
5014, 49eqtrd 2638 1 (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3167  wss 3534  ran crn 5024  Fun wfun 5779  wf 5781  cfv 5785  (class class class)co 6522  Basecbs 15636  s cress 15637  +gcplusg 15709   Σg cgsu 15865  Mgmcmgm 17004  SubMndcsubmnd 17098  SubGrpcsubg 17352  Ringcrg 18311  SubRingcsubrg 18540  Poly1cpl1 19309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-inf2 8393  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-iin 4447  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-se 4983  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-isom 5794  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-of 6767  df-ofr 6768  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-supp 7155  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-2o 7420  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-pm 7719  df-ixp 7767  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-fsupp 8131  df-oi 8270  df-card 8620  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-7 10926  df-8 10927  df-9 10928  df-n0 11135  df-z 11206  df-dec 11321  df-uz 11515  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-seq 12614  df-hash 12930  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-tset 15728  df-ple 15729  df-0g 15866  df-gsum 15867  df-mre 16010  df-mrc 16011  df-acs 16013  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-mhm 17099  df-submnd 17100  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-mulg 17305  df-subg 17355  df-ghm 17422  df-cntz 17514  df-cmn 17959  df-abl 17960  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-subrg 18542  df-psr 19118  df-mpl 19120  df-opsr 19122  df-psr1 19312  df-ply1 19314
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator