MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumply1subr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumply1subr 19585
Description: Evaluate a group sum in a polynomial ring over a subring. (Contributed by AV, 22-Sep-2019.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgply1.s 𝑆 = (Poly1𝑅)
subrgply1.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgply1.u 𝑈 = (Poly1𝐻)
subrgply1.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
gsumply1subr.s (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
gsumply1subr.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumply1subr.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumply1subr (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumply1subr
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumply1subr.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 gsumply1subr.s . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3 subrgply1.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑅)
4 subrgply1.h . . . . 5 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
5 subrgply1.u . . . . 5 𝑈 = (Poly1𝐻)
6 subrgply1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
73, 4, 5, 6subrgply1 19584 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
8 subrgsubg 18767 . . . . 5 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
9 subgsubm 17597 . . . . 5 (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
112, 7, 103syl 18 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
12 gsumply1subr.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
13 eqid 2620 . . 3 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s 𝐵)
141, 11, 12, 13gsumsubm 17354 . 2 (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = ((𝑆s 𝐵) Σg 𝐹))
15 fex 6475 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
1612, 1, 15syl2anc 692 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
17 ovexd 6665 . . 3 (𝜑 → (𝑆s 𝐵) ∈ V)
18 fvex 6188 . . . . 5 (Poly1𝐻) ∈ V
195, 18eqeltri 2695 . . . 4 𝑈 ∈ V
2019a1i 11 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ V)
21 eqid 2620 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
226oveq2i 6646 . . . . 5 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s (Base‘𝑈))
233, 4, 5, 21, 2, 22ressply1bas 19580 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(𝑆s 𝐵)))
2423eqcomd 2626 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝑆s 𝐵)) = (Base‘𝑈))
2513subrgring 18764 . . . . 5 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
267, 25syl 17 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
27 ringmgm 18538 . . . 4 ((𝑆s 𝐵) ∈ Ring → (𝑆s 𝐵) ∈ Mgm)
282, 26, 273syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑆s 𝐵) ∈ Mgm)
29 simpl 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → 𝜑)
303, 4, 5, 6, 2, 13ressply1bas 19580 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = (Base‘(𝑆s 𝐵)))
3130eqcomd 2626 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘(𝑆s 𝐵)) = 𝐵)
3231eleq2d 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ↔ 𝑠𝐵))
3332biimpcd 239 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) → (𝜑𝑠𝐵))
3433adantr 481 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵))) → (𝜑𝑠𝐵))
3534impcom 446 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → 𝑠𝐵)
3631eleq2d 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ↔ 𝑡𝐵))
3736biimpcd 239 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) → (𝜑𝑡𝐵))
3837adantl 482 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵))) → (𝜑𝑡𝐵))
3938impcom 446 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → 𝑡𝐵)
403, 4, 5, 6, 2, 13ressply1add 19581 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵)) → (𝑠(+g𝑈)𝑡) = (𝑠(+g‘(𝑆s 𝐵))𝑡))
4129, 35, 39, 40syl12anc 1322 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → (𝑠(+g𝑈)𝑡) = (𝑠(+g‘(𝑆s 𝐵))𝑡))
4241eqcomd 2626 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → (𝑠(+g‘(𝑆s 𝐵))𝑡) = (𝑠(+g𝑈)𝑡))
43 ffun 6035 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
4412, 43syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐹)
45 frn 6040 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐵)
4612, 45syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹𝐵)
4746, 30sseqtrd 3633 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(𝑆s 𝐵)))
4816, 17, 20, 24, 28, 42, 44, 47gsummgmpropd 17256 . 2 (𝜑 → ((𝑆s 𝐵) Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))
4914, 48eqtrd 2654 1 (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  wss 3567  ran crn 5105  Fun wfun 5870  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  s cress 15839  +gcplusg 15922   Σg cgsu 16082  Mgmcmgm 17221  SubMndcsubmnd 17315  SubGrpcsubg 17569  Ringcrg 18528  SubRingcsubrg 18757  Poly1cpl1 19528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-ofr 6883  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-tset 15941  df-ple 15942  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-ghm 17639  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-subrg 18759  df-psr 19337  df-mpl 19339  df-opsr 19341  df-psr1 19531  df-ply1 19533
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator