Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumpr 41904
 Description: Group sum of a pair. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumpr.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumpr.p + = (+g𝐺)
gsumpr.s (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
gsumpr.t (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
gsumpr ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   + (𝑘)

Proof of Theorem gsumpr
StepHypRef Expression
1 gsumpr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumpr.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 simp1 1059 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
4 prfi 8220 . . . 4 {𝑀, 𝑁} ∈ Fin
54a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → {𝑀, 𝑁} ∈ Fin)
6 vex 3198 . . . . . 6 𝑘 ∈ V
76elpr 4189 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑘 = 𝑀𝑘 = 𝑁))
8 gsumpr.s . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
9 eleq1a 2694 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐵 → (𝐴 = 𝐶𝐴𝐵))
109adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → (𝐴 = 𝐶𝐴𝐵))
11103ad2ant3 1082 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐴 = 𝐶𝐴𝐵))
128, 11syl5com 31 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
13 gsumpr.t . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
14 eleq1a 2694 . . . . . . . . 9 (𝐷𝐵 → (𝐴 = 𝐷𝐴𝐵))
1514adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → (𝐴 = 𝐷𝐴𝐵))
16153ad2ant3 1082 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐴 = 𝐷𝐴𝐵))
1713, 16syl5com 31 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
1812, 17jaoi 394 . . . . 5 ((𝑘 = 𝑀𝑘 = 𝑁) → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
197, 18sylbi 207 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
2019impcom 446 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁}) → 𝐴𝐵)
21 disjsn2 4238 . . . . 5 (𝑀𝑁 → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
22213ad2ant3 1082 . . . 4 ((𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
23223ad2ant2 1081 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
24 df-pr 4171 . . . 4 {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁})
2524a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁}))
26 eqid 2620 . . 3 (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)
271, 2, 3, 5, 20, 23, 25, 26gsummptfidmsplitres 18312 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}))))
28 snsspr1 4336 . . . . . 6 {𝑀} ⊆ {𝑀, 𝑁}
29 resmpt 5437 . . . . . 6 ({𝑀} ⊆ {𝑀, 𝑁} → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
3028, 29mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
3130oveq2d 6651 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
32 cmnmnd 18189 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
33 simp1 1059 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) → 𝑀𝑉)
34 simpl 473 . . . . 5 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → 𝐶𝐵)
351, 8gsumsn 18335 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀𝑉𝐶𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
3632, 33, 34, 35syl3an 1366 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
3731, 36eqtrd 2654 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) = 𝐶)
38 snsspr2 4337 . . . . . 6 {𝑁} ⊆ {𝑀, 𝑁}
39 resmpt 5437 . . . . . 6 ({𝑁} ⊆ {𝑀, 𝑁} → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}) = (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴))
4038, 39mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}) = (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴))
4140oveq2d 6651 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)))
42 simp2 1060 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) → 𝑁𝑊)
43 simpr 477 . . . . 5 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → 𝐷𝐵)
441, 13gsumsn 18335 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁𝑊𝐷𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)) = 𝐷)
4532, 42, 43, 44syl3an 1366 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)) = 𝐷)
4641, 45eqtrd 2654 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁})) = 𝐷)
4737, 46oveq12d 6653 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}))) = (𝐶 + 𝐷))
4827, 47eqtrd 2654 1 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791   ∪ cun 3565   ∩ cin 3566   ⊆ wss 3567  ∅c0 3907  {csn 4168  {cpr 4170   ↦ cmpt 4720   ↾ cres 5106  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  Basecbs 15838  +gcplusg 15922   Σg cgsu 16082  Mndcmnd 17275  CMndccmn 18174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176 This theorem is referenced by:  lincvalpr  41972  zlmodzxzldeplem3  42056
 Copyright terms: Public domain W3C validator