MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumres 18080
Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumcl.z 0 = (0g𝐺)
gsumcl.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumcl.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumcl.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumres.s (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
gsumres.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumres (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumres
StepHypRef Expression
1 gsumcl.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumcl.z . 2 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2606 . 2 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
4 gsumcl.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
5 cmnmnd 17974 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
7 gsumcl.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
8 gsumcl.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
91, 3, 4, 8cntzcmnf 18014 . 2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
10 gsumres.s . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝑊)
11 gsumres.w . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
121, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11gsumzres 18076 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑊)) = (𝐺 Σg 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wss 3536   class class class wbr 4574  cres 5027  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524   supp csupp 7156   finSupp cfsupp 8132  Basecbs 15638  0gc0g 15866   Σg cgsu 15867  Mndcmnd 17060  Cntzccntz 17514  CMndccmn 17959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-oi 8272  df-card 8622  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-seq 12616  df-hash 12932  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-cntz 17516  df-cmn 17961
This theorem is referenced by:  gsum2d  18137  fsfnn0gsumfsffz  18145  psrlidm  19167  psrridm  19168  mplmonmul  19228  mplcoe1  19229  regsumsupp  19729  tsmsgsum  21691  tsmsres  21696  plypf1  23686
  Copyright terms: Public domain W3C validator