MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsnf 18334
Description: Group sum of a singleton, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsnf.c 𝑘𝐶
gsumsnf.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsnf.s (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
gsumsnf ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀𝑉𝐶𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem gsumsnf
StepHypRef Expression
1 gsumsnf.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 simp1 1059 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀𝑉𝐶𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
3 simp2 1060 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀𝑉𝐶𝐵) → 𝑀𝑉)
4 simp3 1061 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀𝑉𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
5 gsumsnf.s . . 3 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
65adantl 482 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
7 nfv 1841 . . 3 𝑘 𝐺 ∈ Mnd
8 nfv 1841 . . 3 𝑘 𝑀𝑉
9 gsumsnf.c . . . 4 𝑘𝐶
109nfel1 2776 . . 3 𝑘 𝐶𝐵
117, 8, 10nf3an 1829 . 2 𝑘(𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀𝑉𝐶𝐵)
121, 2, 3, 4, 6, 11, 9gsumsnfd 18332 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀𝑉𝐶𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wnfc 2749  {csn 4168  cmpt 4720  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838   Σg cgsu 16082  Mndcmnd 17275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mulg 17522  df-cntz 17731
This theorem is referenced by:  gsumsn  18335
  Copyright terms: Public domain W3C validator