MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsnfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsnfd 18272
Description: Group sum of a singleton, deduction form, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsnd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsnd.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumsnd.m (𝜑𝑀𝑉)
gsumsnd.c (𝜑𝐶𝐵)
gsumsnd.s ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
gsumsnfd.p 𝑘𝜑
gsumsnfd.c 𝑘𝐶
Assertion
Ref Expression
gsumsnfd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
Distinct variable group:   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem gsumsnfd
StepHypRef Expression
1 gsumsnfd.p . . . . 5 𝑘𝜑
2 elsni 4165 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
3 gsumsnd.s . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
42, 3sylan2 491 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐶)
51, 4mpteq2da 4703 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶))
65oveq2d 6620 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)))
7 gsumsnd.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
8 snfi 7982 . . . . 5 {𝑀} ∈ Fin
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑀} ∈ Fin)
10 gsumsnd.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐵)
11 gsumsnfd.c . . . . 5 𝑘𝐶
12 gsumsnd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
13 eqid 2621 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
1411, 12, 13gsumconstf 18256 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {𝑀} ∈ Fin ∧ 𝐶𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)) = ((#‘{𝑀})(.g𝐺)𝐶))
157, 9, 10, 14syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)) = ((#‘{𝑀})(.g𝐺)𝐶))
166, 15eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = ((#‘{𝑀})(.g𝐺)𝐶))
17 gsumsnd.m . . . 4 (𝜑𝑀𝑉)
18 hashsng 13099 . . . 4 (𝑀𝑉 → (#‘{𝑀}) = 1)
1917, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → (#‘{𝑀}) = 1)
2019oveq1d 6619 . 2 (𝜑 → ((#‘{𝑀})(.g𝐺)𝐶) = (1(.g𝐺)𝐶))
2112, 13mulg1 17469 . . 3 (𝐶𝐵 → (1(.g𝐺)𝐶) = 𝐶)
2210, 21syl 17 . 2 (𝜑 → (1(.g𝐺)𝐶) = 𝐶)
2316, 20, 223eqtrd 2659 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wnfc 2748  {csn 4148  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  1c1 9881  #chash 13057  Basecbs 15781   Σg cgsu 16022  Mndcmnd 17215  .gcmg 17461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mulg 17462  df-cntz 17671
This theorem is referenced by:  gsumsnd  18273  gsumsnf  18274  gsumunsnfd  18277  esumsnf  29904  gsumdifsndf  41429
  Copyright terms: Public domain W3C validator