MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumspl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumspl 17297
Description: The primary purpose of the splice construction is to enable local rewrites. Thus, in any monoidal valuation, if a splice does not cause a local change it does not cause a global change. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumspl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsumspl.m (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
gsumspl.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
gsumspl.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
gsumspl.x (𝜑𝑋 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.y (𝜑𝑌 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.eq (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))
Assertion
Ref Expression
gsumspl (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))

Proof of Theorem gsumspl
StepHypRef Expression
1 gsumspl.eq . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))
21oveq2d 6621 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
32oveq1d 6620 . 2 (𝜑 → (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
4 gsumspl.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐵)
5 gsumspl.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
6 gsumspl.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
7 gsumspl.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Word 𝐵)
8 splval 13434 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
94, 5, 6, 7, 8syl13anc 1325 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
109oveq2d 6621 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
11 gsumspl.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
12 swrdcl 13352 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵)
134, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵)
14 ccatcl 13293 . . . . 5 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
1513, 7, 14syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
16 swrdcl 13352 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
174, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
18 gsumspl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
19 eqid 2626 . . . . 5 (+g𝑀) = (+g𝑀)
2018, 19gsumccat 17294 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
2111, 15, 17, 20syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
2218, 19gsumccat 17294 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
2311, 13, 7, 22syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
2423oveq1d 6620 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
2510, 21, 243eqtrd 2664 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
26 gsumspl.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Word 𝐵)
27 splval 13434 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
284, 5, 6, 26, 27syl13anc 1325 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
2928oveq2d 6621 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
30 ccatcl 13293 . . . . 5 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵𝑌 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
3113, 26, 30syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
3218, 19gsumccat 17294 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
3311, 31, 17, 32syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
3418, 19gsumccat 17294 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵𝑌 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
3511, 13, 26, 34syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
3635oveq1d 6620 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
3729, 33, 363eqtrd 2664 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
383, 25, 373eqtr4d 2670 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992  cop 4159  cotp 4161  cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881  ...cfz 12265  #chash 13054  Word cword 13225   ++ cconcat 13227   substr csubstr 13229   splice csplice 13230  Basecbs 15776  +gcplusg 15857   Σg cgsu 16017  Mndcmnd 17210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-word 13233  df-concat 13235  df-substr 13237  df-splice 13238  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  17831
  Copyright terms: Public domain W3C validator