MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumspl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumspl 17582
Description: The primary purpose of the splice construction is to enable local rewrites. Thus, in any monoidal valuation, if a splice does not cause a local change it does not cause a global change. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumspl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsumspl.m (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
gsumspl.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
gsumspl.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
gsumspl.x (𝜑𝑋 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.y (𝜑𝑌 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.eq (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))
Assertion
Ref Expression
gsumspl (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))

Proof of Theorem gsumspl
StepHypRef Expression
1 gsumspl.eq . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))
21oveq2d 6829 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
32oveq1d 6828 . 2 (𝜑 → (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
4 gsumspl.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐵)
5 gsumspl.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
6 gsumspl.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
7 gsumspl.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Word 𝐵)
8 splval 13702 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
94, 5, 6, 7, 8syl13anc 1479 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
109oveq2d 6829 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
11 gsumspl.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
12 swrdcl 13618 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵)
134, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵)
14 ccatcl 13546 . . . . 5 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
1513, 7, 14syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
16 swrdcl 13618 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
174, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
18 gsumspl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
19 eqid 2760 . . . . 5 (+g𝑀) = (+g𝑀)
2018, 19gsumccat 17579 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
2111, 15, 17, 20syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
2218, 19gsumccat 17579 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
2311, 13, 7, 22syl3anc 1477 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
2423oveq1d 6828 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
2510, 21, 243eqtrd 2798 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
26 gsumspl.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Word 𝐵)
27 splval 13702 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
284, 5, 6, 26, 27syl13anc 1479 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
2928oveq2d 6829 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
30 ccatcl 13546 . . . . 5 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵𝑌 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
3113, 26, 30syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
3218, 19gsumccat 17579 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
3311, 31, 17, 32syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
3418, 19gsumccat 17579 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵𝑌 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
3511, 13, 26, 34syl3anc 1477 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
3635oveq1d 6828 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
3729, 33, 363eqtrd 2798 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
383, 25, 373eqtr4d 2804 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  cop 4327  cotp 4329  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  ...cfz 12519  chash 13311  Word cword 13477   ++ cconcat 13479   substr csubstr 13481   splice csplice 13482  Basecbs 16059  +gcplusg 16143   Σg cgsu 16303  Mndcmnd 17495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-substr 13489  df-splice 13490  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  18115
  Copyright terms: Public domain W3C validator