Theorem gsumspl 18003

Description: The primary purpose of the splice construction is to enable local rewrites. Thus, in any monoidal valuation, if a splice does not cause a local change it does not cause a global change. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumspl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsumspl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
gsumspl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
gsumspl.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
gsumspl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.eq	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
gsumspl	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))

Proof of Theorem gsumspl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumspl.eq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))
2	1	oveq2d 7166	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
3	2	oveq1d 7165	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
4		gsumspl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
5		gsumspl.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
6		gsumspl.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
7		gsumspl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
8		splval 14107	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
9	4, 5, 6, 7, 8	syl13anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
10	9	oveq2d 7166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
11		gsumspl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
12		pfxcl 14033	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵)
13	4, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵)
14		ccatcl 13920	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
15	13, 7, 14	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
16		swrdcl 14001	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
17	4, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
18		gsumspl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
19		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
20	18, 19	gsumccat 18000	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
21	11, 15, 17, 20	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
22	18, 19	gsumccat 18000	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
23	11, 13, 7, 22	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
24	23	oveq1d 7165	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
25	10, 21, 24	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
26		gsumspl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Word 𝐵)
27		splval 14107	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
28	4, 5, 6, 26, 27	syl13anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
29	28	oveq2d 7166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
30		ccatcl 13920	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
31	13, 26, 30	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
32	18, 19	gsumccat 18000	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
33	11, 31, 17, 32	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
34	18, 19	gsumccat 18000	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
35	11, 13, 26, 34	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
36	35	oveq1d 7165	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
37	29, 33, 36	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
38	3, 25, 37	3eqtr4d 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ⟨cop 4567  ⟨cotp 4569  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  0cc0 10531  ...cfz 12886  ♯chash 13684  Word cword 13855   ++ cconcat 13916   substr csubstr 13996   prefix cpfx 14026   splice csplice 14105  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559   Σ_g cgsu 16708  Mndcmnd 17905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13917  df-substr 13997  df-pfx 14027  df-splice 14106  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  18617