MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsplit 18268
Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsplit.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit.z 0 = (0g𝐺)
gsumsplit.p + = (+g𝐺)
gsumsplit.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplit.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumsplit.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumsplit.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
gsumsplit.u (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
gsumsplit (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹𝐷))))

Proof of Theorem gsumsplit
StepHypRef Expression
1 gsumsplit.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumsplit.z . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumsplit.p . 2 + = (+g𝐺)
4 eqid 2621 . 2 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5 gsumsplit.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 18148 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
8 gsumsplit.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsumsplit.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
101, 4, 5, 9cntzcmnf 18188 . 2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
11 gsumsplit.w . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
12 gsumsplit.i . 2 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
13 gsumsplit.u . 2 (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
141, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13gsumzsplit 18267 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  cun 3558  cin 3559  c0 3897   class class class wbr 4623  cres 5086  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615   finSupp cfsupp 8235  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  0gc0g 16040   Σg cgsu 16041  Mndcmnd 17234  Cntzccntz 17688  CMndccmn 18133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-cntz 17690  df-cmn 18135
This theorem is referenced by:  gsumsplit2  18269  gsummptfidmsplitres  18271  gsum2dlem2  18310  islindf4  20117  tmdgsum  21839  xrge0gsumle  22576  amgm  24651  wilthlem2  24729  gsumesum  29944  gsumsplit2f  41461
  Copyright terms: Public domain W3C validator