Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumsplit2f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsplit2f 41404
 Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsplit2f.n 𝑘𝜑
gsumsplit2f.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit2f.z 0 = (0g𝐺)
gsumsplit2f.p + = (+g𝐺)
gsumsplit2f.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplit2f.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumsplit2f.f ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsumsplit2f.w (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
gsumsplit2f.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
gsumsplit2f.u (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
gsumsplit2f (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑋))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumsplit2f
StepHypRef Expression
1 gsumsplit2f.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumsplit2f.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsumsplit2f.p . . 3 + = (+g𝐺)
4 gsumsplit2f.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
5 gsumsplit2f.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 gsumsplit2f.n . . . 4 𝑘𝜑
7 gsumsplit2f.f . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
8 eqid 2626 . . . 4 (𝑘𝐴𝑋) = (𝑘𝐴𝑋)
96, 7, 8fmptdf 6343 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋):𝐴𝐵)
10 gsumsplit2f.w . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
11 gsumsplit2f.i . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
12 gsumsplit2f.u . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
131, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12gsumsplit 18244 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐷))))
14 ssun1 3759 . . . . . 6 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
1514, 12syl5sseqr 3638 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
1615resmptd 5415 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐶) = (𝑘𝐶𝑋))
1716oveq2d 6621 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))
18 ssun2 3760 . . . . . 6 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
1918, 12syl5sseqr 3638 . . . . 5 (𝜑𝐷𝐴)
2019resmptd 5415 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐷) = (𝑘𝐷𝑋))
2120oveq2d 6621 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐷)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑋)))
2217, 21oveq12d 6623 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐷))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑋))))
2313, 22eqtrd 2660 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑋))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480  Ⅎwnf 1705   ∈ wcel 1992   ∪ cun 3558   ∩ cin 3559  ∅c0 3896   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678   ↾ cres 5081  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605   finSupp cfsupp 8220  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  0gc0g 16016   Σg cgsu 16017  CMndccmn 18109 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-cntz 17666  df-cmn 18111 This theorem is referenced by:  gsumdifsndf  41405
 Copyright terms: Public domain W3C validator