MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsubm 17313
Description: Evaluate a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsubm.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumsubm.s (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumsubm.f (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
gsumsubm.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
gsumsubm (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumsubm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . 2 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 eqid 2621 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 gsumsubm.h . 2 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
4 gsumsubm.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
5 submrcl 17286 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
7 gsumsubm.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
81submss 17290 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
94, 8syl 17 . 2 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
10 gsumsubm.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
11 eqid 2621 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
1211subm0cl 17292 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
134, 12syl 17 . 2 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
141, 2, 11mndlrid 17250 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥))
156, 14sylan 488 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥))
161, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 13, 15gsumress 17216 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3560  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  s cress 15801  +gcplusg 15881  0gc0g 16040   Σg cgsu 16041  Mndcmnd 17234  SubMndcsubmnd 17274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-seq 12758  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  18258  resspsrmul  19357  gsumply1subr  19544  tsmssubm  21886  amgmlem  24650  lgseisenlem4  25037  sge0tsms  39934  amgmwlem  41881  amgmlemALT  41882
  Copyright terms: Public domain W3C validator