Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumunsnfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumunsnfd 18288
 Description: Append an element to a finite group sum, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumunsnd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumunsnd.p + = (+g𝐺)
gsumunsnd.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumunsnd.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumunsnd.f ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsumunsnd.m (𝜑𝑀𝑉)
gsumunsnd.d (𝜑 → ¬ 𝑀𝐴)
gsumunsnd.y (𝜑𝑌𝐵)
gsumunsnd.s ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
gsumunsnfd.0 𝑘𝑌
Assertion
Ref Expression
gsumunsnfd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumunsnfd
StepHypRef Expression
1 gsumunsnd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumunsnd.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 gsumunsnd.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsumunsnd.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 snfi 7990 . . . 4 {𝑀} ∈ Fin
6 unfi 8179 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
74, 5, 6sylancl 693 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
8 elun 3736 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↔ (𝑘𝐴𝑘 ∈ {𝑀}))
9 gsumunsnd.f . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
10 elsni 4170 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
11 gsumunsnd.s . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
1210, 11sylan2 491 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 = 𝑌)
13 gsumunsnd.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐵)
1413adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑌𝐵)
1512, 14eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋𝐵)
169, 15jaodan 825 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘 ∈ {𝑀})) → 𝑋𝐵)
178, 16sylan2b 492 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋𝐵)
18 gsumunsnd.d . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑀𝐴)
19 disjsn 4221 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀𝐴)
2018, 19sylibr 224 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
21 eqidd 2622 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) = (𝐴 ∪ {𝑀}))
221, 2, 3, 7, 17, 20, 21gsummptfidmsplit 18262 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
23 cmnmnd 18140 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
243, 23syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
25 gsumunsnd.m . . . 4 (𝜑𝑀𝑉)
26 nfv 1840 . . . 4 𝑘𝜑
27 gsumunsnfd.0 . . . 4 𝑘𝑌
281, 24, 25, 13, 11, 26, 27gsumsnfd 18283 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
2928oveq2d 6626 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + 𝑌))
3022, 29eqtrd 2655 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Ⅎwnfc 2748   ∪ cun 3557   ∩ cin 3558  ∅c0 3896  {csn 4153   ↦ cmpt 4678  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  Basecbs 15792  +gcplusg 15873   Σg cgsu 16033  Mndcmnd 17226  CMndccmn 18125 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-hash 13066  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127 This theorem is referenced by:  gsumunsnd  18289  gsumunsnf  18290
 Copyright terms: Public domain W3C validator