Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsca2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumvsca2 29560
Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
gsumvsca.g 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
gsumvsca.z 0 = (0g𝑊)
gsumvsca.t · = ( ·𝑠𝑊)
gsumvsca.p + = (+g𝑊)
gsumvsca.k (𝜑𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
gsumvsca.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumvsca.w (𝜑𝑊 ∈ SLMod)
gsumvsca2.n (𝜑𝑄𝐵)
gsumvsca2.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
gsumvsca2 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))
Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑄,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   + (𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumvsca2
Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsca.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 ssid 3608 . . 3 𝐴𝐴
3 sseq1 3610 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑎𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
43anbi2d 739 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
5 mpteq1 4702 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)))
65oveq2d 6621 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))))
7 mpteq1 4702 . . . . . . . . 9 (𝑎 = ∅ → (𝑘𝑎𝑃) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃))
87oveq2d 6621 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)))
98oveq1d 6620 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))
106, 9eqeq12d 2641 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
114, 10imbi12d 334 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
12 sseq1 3610 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑎𝐴𝑒𝐴))
1312anbi2d 739 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑒 → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑𝑒𝐴)))
14 mpteq1 4702 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑒 → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
1514oveq2d 6621 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
16 mpteq1 4702 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑒 → (𝑘𝑎𝑃) = (𝑘𝑒𝑃))
1716oveq2d 6621 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑒 → (𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)))
1817oveq1d 6620 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄))
1915, 18eqeq12d 2641 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑒 → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)))
2013, 19imbi12d 334 . . . . 5 (𝑎 = 𝑒 → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄))))
21 sseq1 3610 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑎𝐴 ↔ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
2221anbi2d 739 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
23 mpteq1 4702 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄)))
2423oveq2d 6621 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))))
25 mpteq1 4702 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘𝑎𝑃) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃))
2625oveq2d 6621 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)))
2726oveq1d 6620 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))
2824, 27eqeq12d 2641 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
2922, 28imbi12d 334 . . . . 5 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
30 sseq1 3610 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝐴𝐴𝐴))
3130anbi2d 739 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑𝐴𝐴)))
32 mpteq1 4702 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
3332oveq2d 6621 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
34 mpteq1 4702 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → (𝑘𝑎𝑃) = (𝑘𝐴𝑃))
3534oveq2d 6621 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)))
3635oveq1d 6620 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))
3733, 36eqeq12d 2641 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄)))
3831, 37imbi12d 334 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑𝐴𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))))
39 gsumvsca.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ SLMod)
40 gsumvsca2.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄𝐵)
41 gsumvsca.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑊)
42 gsumvsca.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
43 gsumvsca.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
44 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
45 gsumvsca.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
4641, 42, 43, 44, 45slmd0vs 29554 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑄𝐵) → ((0g𝐺) · 𝑄) = 0 )
4739, 40, 46syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0g𝐺) · 𝑄) = 0 )
4847eqcomd 2632 . . . . . . 7 (𝜑0 = ((0g𝐺) · 𝑄))
49 mpt0 5980 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)) = ∅
5049oveq2i 6616 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg ∅)
5145gsum0 17194 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg ∅) = 0
5250, 51eqtri 2648 . . . . . . 7 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = 0
53 mpt0 5980 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃) = ∅
5453oveq2i 6616 . . . . . . . . 9 (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) = (𝐺 Σg ∅)
5544gsum0 17194 . . . . . . . . 9 (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺)
5654, 55eqtri 2648 . . . . . . . 8 (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) = (0g𝐺)
5756oveq1i 6615 . . . . . . 7 ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄) = ((0g𝐺) · 𝑄)
5848, 52, 573eqtr4g 2685 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))
5958adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))
60 ssun1 3759 . . . . . . . . 9 𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧})
61 sstr2 3595 . . . . . . . . 9 (𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑒𝐴))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑒𝐴)
6362anim2i 592 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝜑𝑒𝐴))
6463imim1i 63 . . . . . 6 (((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)))
6539ad2antrl 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ SLMod)
66 eqid 2626 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6742slmdsrg 29537 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ SLMod → 𝐺 ∈ SRing)
68 srgcmn 18424 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ SRing → 𝐺 ∈ CMnd)
6965, 67, 683syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺 ∈ CMnd)
70 vex 3194 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ V)
72 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝜑)
73 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
7473unssad 3773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒𝐴)
7574sselda 3588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑘𝐴)
76 gsumvsca.k . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
7776adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
78 gsumvsca2.c . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐾)
7977, 78sseldd 3589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
8072, 75, 79syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
81 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑒𝑃) = (𝑘𝑒𝑃)
8280, 81fmptd 6341 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘𝑒𝑃):𝑒⟶(Base‘𝐺))
83 simpll 789 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ Fin)
8472, 75, 78syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑃𝐾)
85 fvex 6160 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝐺) ∈ V
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (0g𝐺) ∈ V)
8781, 83, 84, 86fsuppmptdm 8231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘𝑒𝑃) finSupp (0g𝐺))
8866, 44, 69, 71, 82, 87gsumcl 18232 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) ∈ (Base‘𝐺))
8973unssbd 3774 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
90 vex 3194 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
9190snss 4291 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
9289, 91sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
9379ralrimiva 2965 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
9493ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ∀𝑘𝐴 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
95 rspcsbela 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝑃 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑧 / 𝑘𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
9692, 94, 95syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 / 𝑘𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
9740ad2antrl 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑄𝐵)
98 gsumvsca.p . . . . . . . . . . . 12 + = (+g𝑊)
99 eqid 2626 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
10041, 98, 42, 43, 66, 99slmdvsdir 29546 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 / 𝑘𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄𝐵)) → (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
10165, 88, 96, 97, 100syl13anc 1325 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
102101adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
103 nfcsb1v 3535 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑧 / 𝑘𝑃
10490a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ V)
105 simplr 791 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧𝑒)
106 csbeq1a 3528 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧𝑃 = 𝑧 / 𝑘𝑃)
107103, 66, 99, 69, 83, 80, 104, 105, 96, 106gsumunsnf 18274 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃))
108107oveq1d 6620 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃) · 𝑄))
109108adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃) · 𝑄))
110 nfcv 2767 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ·
111 nfcv 2767 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑄
112103, 110, 111nfov 6631 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)
113 slmdcmn 29535 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ CMnd)
11465, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ CMnd)
11572, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑊 ∈ SLMod)
11672, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑄𝐵)
11741, 42, 43, 66slmdvscl 29544 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄𝐵) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
118115, 80, 116, 117syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
11941, 42, 43, 66slmdvscl 29544 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑧 / 𝑘𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄𝐵) → (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
12065, 96, 97, 119syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
121106oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧 → (𝑃 · 𝑄) = (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄))
122112, 41, 98, 114, 83, 118, 104, 105, 120, 121gsumunsnf 18274 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
123122adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
124 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄))
125124oveq1d 6620 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
126123, 125eqtrd 2660 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
127102, 109, 1263eqtr4rd 2671 . . . . . . . 8 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))
128127exp31 629 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
129128a2d 29 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → (((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
13064, 129syl5 34 . . . . 5 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → (((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
13111, 20, 29, 38, 59, 130findcard2s 8146 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ((𝜑𝐴𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄)))
132131imp 445 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝜑𝐴𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))
1332, 132mpanr2 719 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝜑) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))
1341, 133mpancom 702 1 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  Vcvv 3191  csb 3519  cun 3558  wss 3560  c0 3896  {csn 4153  cmpt 4678  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  Scalarcsca 15860   ·𝑠 cvsca 15861  0gc0g 16016   Σg cgsu 16017  CMndccmn 18109  SRingcsrg 18421  SLModcslmd 29530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-srg 18422  df-slmd 29531
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator