Theorem gsumwmhm 18004

Description: Behavior of homomorphisms on finite monoidal sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumwmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsumwmhm	⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)))

Proof of Theorem gsumwmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7158	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg ∅))
2		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
3	2	gsum0 17888	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
4	1, 3	syl6eq 2872	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (0g‘𝑀))
5	4	fveq2d 6668	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(0g‘𝑀)))
6		coeq2 5723	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐻 ∘ 𝑊) = (𝐻 ∘ ∅))
7		co02 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∘ ∅) = ∅
8	6, 7	syl6eq 2872	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐻 ∘ 𝑊) = ∅)
9	8	oveq2d 7166	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) = (𝑁 Σg ∅))
10		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑁) = (0g‘𝑁)
11	10	gsum0 17888	. . . 4 ⊢ (𝑁 Σg ∅) = (0g‘𝑁)
12	9, 11	syl6eq 2872	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) = (0g‘𝑁))
13	5, 12	eqeq12d 2837	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) ↔ (𝐻‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑁)))
14		mhmrcl1 17953	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Mnd)
15	14	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑀 ∈ Mnd)
16		gsumwmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
17		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
18	16, 17	mndcl 17913	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
19	18	3expb 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
20	15, 19	sylan 582	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
21		wrdf 13860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
22	21	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
23		wrdfin 13876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → 𝑊 ∈ Fin)
24	23	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → 𝑊 ∈ Fin)
25		hashnncl 13721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
27	26	biimpar 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12080	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
29		fzoval 13033	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
31	30	feq2d 6494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵 ↔ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵))
32	22, 31	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵)
33	32	ffvelrnda 6845	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘𝑥) ∈ 𝐵)
34		nnm1nn0 11932	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
35	27, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
36		nn0uz 12274	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
37	35, 36	eleqtrdi 2923	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
38		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑁) = (+g‘𝑁)
39	16, 17, 38	mhmlin 17957	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = ((𝐻‘𝑥)(+g‘𝑁)(𝐻‘𝑦)))
40	39	3expb 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = ((𝐻‘𝑥)(+g‘𝑁)(𝐻‘𝑦)))
41	40	ad4ant14 750	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = ((𝐻‘𝑥)(+g‘𝑁)(𝐻‘𝑦)))
42	32	ffnd 6509	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 Fn (0...((♯‘𝑊) − 1)))
43		fvco2 6752	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 Fn (0...((♯‘𝑊) − 1)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝐻 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊‘𝑥)))
44	42, 43	sylan 582	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝐻 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊‘𝑥)))
45	44	eqcomd 2827	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝐻‘(𝑊‘𝑥)) = ((𝐻 ∘ 𝑊)‘𝑥))
46	20, 33, 37, 41, 45	seqhomo 13411	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(seq0((+g‘𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1))) = (seq0((+g‘𝑁), (𝐻 ∘ 𝑊))‘((♯‘𝑊) − 1)))
47	16, 17, 15, 37, 32	gsumval2 17890	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑀 Σg 𝑊) = (seq0((+g‘𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
48	47	fveq2d 6668	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(seq0((+g‘𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1))))
49		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
50		mhmrcl2 17954	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑁 ∈ Mnd)
51	50	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Mnd)
52	16, 49	mhmf 17955	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
53	52	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
54		fco 6525	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵) → (𝐻 ∘ 𝑊):(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
55	53, 32, 54	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻 ∘ 𝑊):(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
56	49, 38, 51, 37, 55	gsumval2 17890	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) = (seq0((+g‘𝑁), (𝐻 ∘ 𝑊))‘((♯‘𝑊) − 1)))
57	46, 48, 56	3eqtr4d 2866	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)))
58	2, 10	mhm0 17958	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → (𝐻‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑁))
59	58	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑁))
60	13, 57, 59	pm2.61ne 3102	1 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∅c0 4290   ∘ ccom 5553   Fn wfn 6344  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  0cc0 10531  1c1 10532   − cmin 10864  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ...cfz 12886  ..^cfzo 13027  seqcseq 13363  ♯chash 13684  Word cword 13855  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  0_gc0g 16707   Σ_g cgsu 16708  Mndcmnd 17905   MndHom cmhm 17948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-word 13856  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950

This theorem is referenced by:  frmdup3lem  18025  symgtrinv  18594  frgpup3lem  18897