MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumwmhm 17298
Description: Behavior of homomorphisms on finite monoidal sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gsumwmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
gsumwmhm ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)))

Proof of Theorem gsumwmhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6613 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg ∅))
2 eqid 2626 . . . . . 6 (0g𝑀) = (0g𝑀)
32gsum0 17194 . . . . 5 (𝑀 Σg ∅) = (0g𝑀)
41, 3syl6eq 2676 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (0g𝑀))
54fveq2d 6154 . . 3 (𝑊 = ∅ → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(0g𝑀)))
6 coeq2 5245 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → (𝐻𝑊) = (𝐻 ∘ ∅))
7 co02 5611 . . . . . 6 (𝐻 ∘ ∅) = ∅
86, 7syl6eq 2676 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝐻𝑊) = ∅)
98oveq2d 6621 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) = (𝑁 Σg ∅))
10 eqid 2626 . . . . 5 (0g𝑁) = (0g𝑁)
1110gsum0 17194 . . . 4 (𝑁 Σg ∅) = (0g𝑁)
129, 11syl6eq 2676 . . 3 (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) = (0g𝑁))
135, 12eqeq12d 2641 . 2 (𝑊 = ∅ → ((𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) ↔ (𝐻‘(0g𝑀)) = (0g𝑁)))
14 mhmrcl1 17254 . . . . . 6 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Mnd)
1514ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑀 ∈ Mnd)
16 gsumwmhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
17 eqid 2626 . . . . . . 7 (+g𝑀) = (+g𝑀)
1816, 17mndcl 17217 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
19183expb 1263 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
2015, 19sylan 488 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
21 wrdf 13244 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐵)
2221ad2antlr 762 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐵)
23 wrdfin 13257 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑊 ∈ Fin)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → 𝑊 ∈ Fin)
25 hashnncl 13094 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Fin → ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2726biimpar 502 . . . . . . . . 9 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
2827nnzd 11425 . . . . . . . 8 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
29 fzoval 12409 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
3130feq2d 5990 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐵𝑊:(0...((#‘𝑊) − 1))⟶𝐵))
3222, 31mpbid 222 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((#‘𝑊) − 1))⟶𝐵)
3332ffvelrnda 6316 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → (𝑊𝑥) ∈ 𝐵)
34 nnm1nn0 11279 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
3527, 34syl 17 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
36 nn0uz 11666 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
3735, 36syl6eleq 2714 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘0))
38 simpll 789 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
39 eqid 2626 . . . . . . 7 (+g𝑁) = (+g𝑁)
4016, 17, 39mhmlin 17258 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝐻‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑁)(𝐻𝑦)))
41403expb 1263 . . . . 5 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑁)(𝐻𝑦)))
4238, 41sylan 488 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑁)(𝐻𝑦)))
43 ffn 6004 . . . . . . 7 (𝑊:(0...((#‘𝑊) − 1))⟶𝐵𝑊 Fn (0...((#‘𝑊) − 1)))
4432, 43syl 17 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 Fn (0...((#‘𝑊) − 1)))
45 fvco2 6231 . . . . . 6 ((𝑊 Fn (0...((#‘𝑊) − 1)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → ((𝐻𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊𝑥)))
4644, 45sylan 488 . . . . 5 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → ((𝐻𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊𝑥)))
4746eqcomd 2632 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → (𝐻‘(𝑊𝑥)) = ((𝐻𝑊)‘𝑥))
4820, 33, 37, 42, 47seqhomo 12785 . . 3 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(seq0((+g𝑀), 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1))) = (seq0((+g𝑁), (𝐻𝑊))‘((#‘𝑊) − 1)))
4916, 17, 15, 37, 32gsumval2 17196 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑀 Σg 𝑊) = (seq0((+g𝑀), 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)))
5049fveq2d 6154 . . 3 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(seq0((+g𝑀), 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1))))
51 eqid 2626 . . . 4 (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
52 mhmrcl2 17255 . . . . 5 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑁 ∈ Mnd)
5352ad2antrr 761 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Mnd)
5416, 51mhmf 17256 . . . . . 6 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
5554ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
56 fco 6017 . . . . 5 ((𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑊:(0...((#‘𝑊) − 1))⟶𝐵) → (𝐻𝑊):(0...((#‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
5755, 32, 56syl2anc 692 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻𝑊):(0...((#‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
5851, 39, 53, 37, 57gsumval2 17196 . . 3 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) = (seq0((+g𝑁), (𝐻𝑊))‘((#‘𝑊) − 1)))
5948, 50, 583eqtr4d 2670 . 2 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)))
602, 10mhm0 17259 . . 3 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → (𝐻‘(0g𝑀)) = (0g𝑁))
6160adantr 481 . 2 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(0g𝑀)) = (0g𝑁))
6213, 59, 61pm2.61ne 2881 1 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  c0 3896  ccom 5083   Fn wfn 5845  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  0cc0 9881  1c1 9882  cmin 10211  cn 10965  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265  ..^cfzo 12403  seqcseq 12738  #chash 13054  Word cword 13225  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  0gc0g 16016   Σg cgsu 16017  Mndcmnd 17210   MndHom cmhm 17249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-word 13233  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251
This theorem is referenced by:  frmdup3lem  17319  symgtrinv  17808  frgpup3lem  18106
  Copyright terms: Public domain W3C validator