Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumwmhm 17298
 Description: Behavior of homomorphisms on finite monoidal sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gsumwmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
gsumwmhm ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)))

Proof of Theorem gsumwmhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6613 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg ∅))
2 eqid 2626 . . . . . 6 (0g𝑀) = (0g𝑀)
32gsum0 17194 . . . . 5 (𝑀 Σg ∅) = (0g𝑀)
41, 3syl6eq 2676 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (0g𝑀))
54fveq2d 6154 . . 3 (𝑊 = ∅ → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(0g𝑀)))
6 coeq2 5245 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → (𝐻𝑊) = (𝐻 ∘ ∅))
7 co02 5611 . . . . . 6 (𝐻 ∘ ∅) = ∅
86, 7syl6eq 2676 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝐻𝑊) = ∅)
98oveq2d 6621 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) = (𝑁 Σg ∅))
10 eqid 2626 . . . . 5 (0g𝑁) = (0g𝑁)
1110gsum0 17194 . . . 4 (𝑁 Σg ∅) = (0g𝑁)
129, 11syl6eq 2676 . . 3 (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) = (0g𝑁))
135, 12eqeq12d 2641 . 2 (𝑊 = ∅ → ((𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) ↔ (𝐻‘(0g𝑀)) = (0g𝑁)))
14 mhmrcl1 17254 . . . . . 6 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Mnd)
1514ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑀 ∈ Mnd)
16 gsumwmhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
17 eqid 2626 . . . . . . 7 (+g𝑀) = (+g𝑀)
1816, 17mndcl 17217 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
19183expb 1263 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
2015, 19sylan 488 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
21 wrdf 13244 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐵)
2221ad2antlr 762 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐵)
23 wrdfin 13257 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑊 ∈ Fin)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → 𝑊 ∈ Fin)
25 hashnncl 13094 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Fin → ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2726biimpar 502 . . . . . . . . 9 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
2827nnzd 11425 . . . . . . . 8 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
29 fzoval 12409 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
3130feq2d 5990 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐵𝑊:(0...((#‘𝑊) − 1))⟶𝐵))
3222, 31mpbid 222 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((#‘𝑊) − 1))⟶𝐵)
3332ffvelrnda 6316 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → (𝑊𝑥) ∈ 𝐵)
34 nnm1nn0 11279 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
3527, 34syl 17 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
36 nn0uz 11666 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
3735, 36syl6eleq 2714 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘0))
38 simpll 789 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
39 eqid 2626 . . . . . . 7 (+g𝑁) = (+g𝑁)
4016, 17, 39mhmlin 17258 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝐻‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑁)(𝐻𝑦)))
41403expb 1263 . . . . 5 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑁)(𝐻𝑦)))
4238, 41sylan 488 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑁)(𝐻𝑦)))
43 ffn 6004 . . . . . . 7 (𝑊:(0...((#‘𝑊) − 1))⟶𝐵𝑊 Fn (0...((#‘𝑊) − 1)))
4432, 43syl 17 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 Fn (0...((#‘𝑊) − 1)))
45 fvco2 6231 . . . . . 6 ((𝑊 Fn (0...((#‘𝑊) − 1)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → ((𝐻𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊𝑥)))
4644, 45sylan 488 . . . . 5 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → ((𝐻𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊𝑥)))
4746eqcomd 2632 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → (𝐻‘(𝑊𝑥)) = ((𝐻𝑊)‘𝑥))
4820, 33, 37, 42, 47seqhomo 12785 . . 3 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(seq0((+g𝑀), 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1))) = (seq0((+g𝑁), (𝐻𝑊))‘((#‘𝑊) − 1)))
4916, 17, 15, 37, 32gsumval2 17196 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑀 Σg 𝑊) = (seq0((+g𝑀), 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)))
5049fveq2d 6154 . . 3 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(seq0((+g𝑀), 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1))))
51 eqid 2626 . . . 4 (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
52 mhmrcl2 17255 . . . . 5 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑁 ∈ Mnd)
5352ad2antrr 761 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Mnd)
5416, 51mhmf 17256 . . . . . 6 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
5554ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
56 fco 6017 . . . . 5 ((𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑊:(0...((#‘𝑊) − 1))⟶𝐵) → (𝐻𝑊):(0...((#‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
5755, 32, 56syl2anc 692 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻𝑊):(0...((#‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
5851, 39, 53, 37, 57gsumval2 17196 . . 3 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) = (seq0((+g𝑁), (𝐻𝑊))‘((#‘𝑊) − 1)))
5948, 50, 583eqtr4d 2670 . 2 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)))
602, 10mhm0 17259 . . 3 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → (𝐻‘(0g𝑀)) = (0g𝑁))
6160adantr 481 . 2 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(0g𝑀)) = (0g𝑁))
6213, 59, 61pm2.61ne 2881 1 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796  ∅c0 3896   ∘ ccom 5083   Fn wfn 5845  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  0cc0 9881  1c1 9882   − cmin 10211  ℕcn 10965  ℕ0cn0 11237  ℤcz 11322  ℤ≥cuz 11631  ...cfz 12265  ..^cfzo 12403  seqcseq 12738  #chash 13054  Word cword 13225  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  0gc0g 16016   Σg cgsu 16017  Mndcmnd 17210   MndHom cmhm 17249 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-word 13233  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251 This theorem is referenced by:  frmdup3lem  17319  symgtrinv  17808  frgpup3lem  18106
 Copyright terms: Public domain W3C validator