Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumws3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumws3 37418
 Description: Valuation of a length 3 word in a monoid. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumws3.0 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumws3.1 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsumws3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))

Proof of Theorem gsumws3
StepHypRef Expression
1 s1s2 13377 . . . 4 ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)
21a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩))
32oveq2d 6442 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
4 simpl 471 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → 𝐺 ∈ Mnd)
5 simprl 789 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → 𝑆𝐵)
65s1cld 13095 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵)
7 simprrl 799 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → 𝑇𝐵)
8 simprrr 800 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → 𝑈𝐵)
97, 8s2cld 13325 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → ⟨“𝑇𝑈”⟩ ∈ Word 𝐵)
10 gsumws3.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
11 gsumws3.1 . . . 4 + = (+g𝐺)
1210, 11gsumccat 17093 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑇𝑈”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
134, 6, 9, 12syl3anc 1317 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)))
1410gsumws1 17091 . . . 4 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
1514ad2antrl 759 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
1610, 11gsumws2 17094 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
17163expb 1257 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵)) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
1817adantrl 747 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩) = (𝑇 + 𝑈))
1915, 18oveq12d 6444 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈”⟩)) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))
203, 13, 193eqtrd 2552 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵𝑈𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + 𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1938  ‘cfv 5689  (class class class)co 6426  Word cword 13005   ++ cconcat 13007  ⟨“cs1 13008  ⟨“cs2 13296  ⟨“cs3 13297  Basecbs 15579  +gcplusg 15652   Σg cgsu 15808  Mndcmnd 17009 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768 This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-oadd 7327  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-card 8524  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-2 10834  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-seq 12532  df-hash 12848  df-word 13013  df-concat 13015  df-s1 13016  df-s2 13303  df-s3 13304  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-0g 15809  df-gsum 15810  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-submnd 17051 This theorem is referenced by:  gsumws4  37419  amgm3d  37421
 Copyright terms: Public domain W3C validator