Theorem gt0ne0 11107

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10646	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		ltne 10739	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	sylan 582	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   class class class wbr 5068  ℝcr 10538  0cc0 10539   < clt 10677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-addrcl 10600  ax-rnegex 10610  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682

This theorem is referenced by:  recgt0  11488  lemul1  11494  lediv1  11507  gt0div  11508  ge0div  11509  mulge0b  11512  ltdivmul  11517  ledivmul  11518  lt2mul2div  11520  lemuldiv  11522  ltdiv2  11528  ltrec1  11529  lerec2  11530  ledivdiv  11531  lediv2  11532  ltdiv23  11533  lediv23  11534  lediv12a  11535  recreclt  11541  nnrecl  11898  elnnz  11994  recnz  12060  rpne0  12408  divelunit  12883  resqrex  14612  sqrtgt0  14620  argregt0  25195  argimgt0  25197  logneg2  25200  logcnlem3  25229  atanlogsublem  25495  leopmul  29913  cdj1i  30212  lediv2aALT  32922  nndivlub  33808  knoppndvlem15  33867  knoppndvlem17  33869  sineq0ALT  41278  eenglngeehlnmlem1  44731  eenglngeehlnmlem2  44732