MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gt0ne0 10242
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
gt0ne0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0
StepHypRef Expression
1 0red 9796 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2 ltne 9884 . 2 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
31, 2sylan 486 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1938  wne 2684   class class class wbr 4481  cr 9690  0cc0 9691   < clt 9829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6429  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-ltxr 9834
This theorem is referenced by:  recgt0  10616  lemul1  10624  lediv1  10637  gt0div  10638  ge0div  10639  mulge0b  10642  ltdivmul  10647  ledivmul  10648  lt2mul2div  10650  lemuldiv  10653  ltdiv2  10659  ltrec1  10660  lerec2  10661  ledivdiv  10662  lediv2  10663  ltdiv23  10664  lediv23  10665  lediv12a  10666  recreclt  10672  nnrecl  11045  elnnz  11128  recnz  11192  rpne0  11590  divelunit  12054  resqrex  13698  sqrtgt0  13706  argregt0  24047  argimgt0  24049  logneg2  24052  logcnlem3  24077  atanlogsublem  24329  leopmul  28165  cdj1i  28464  lediv2aALT  30668  nndivlub  31461  knoppndvlem15  31521  knoppndvlem17  31523  sineq0ALT  38092
  Copyright terms: Public domain W3C validator