MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gt0ne0 10478
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
gt0ne0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0
StepHypRef Expression
1 0red 10026 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2 ltne 10119 . 2 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
31, 2sylan 488 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1988  wne 2791   class class class wbr 4644  cr 9920  0cc0 9921   < clt 10059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064
This theorem is referenced by:  recgt0  10852  lemul1  10860  lediv1  10873  gt0div  10874  ge0div  10875  mulge0b  10878  ltdivmul  10883  ledivmul  10884  lt2mul2div  10886  lemuldiv  10888  ltdiv2  10894  ltrec1  10895  lerec2  10896  ledivdiv  10897  lediv2  10898  ltdiv23  10899  lediv23  10900  lediv12a  10901  recreclt  10907  nnrecl  11275  elnnz  11372  recnz  11437  rpne0  11833  divelunit  12299  resqrex  13972  sqrtgt0  13980  argregt0  24337  argimgt0  24339  logneg2  24342  logcnlem3  24371  atanlogsublem  24623  leopmul  28963  cdj1i  29262  lediv2aALT  31545  nndivlub  32432  knoppndvlem15  32492  knoppndvlem17  32494  sineq0ALT  38993
  Copyright terms: Public domain W3C validator