Theorem gt0ne0d 11198

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10637	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		gt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		ltne 10731	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 2, 3	sylancr 589	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5058  ℝcr 10530  0cc0 10531   < clt 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-addrcl 10592  ax-rnegex 10602  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674

This theorem is referenced by:  recextlem2  11265  prodgt0  11481  ltdiv1  11498  ltmuldiv  11507  ltrec  11516  lerec  11517  lediv12a  11527  recp1lt1  11532  ledivp1  11536  supmul1  11604  nnne0  11665  rpnnen1lem5  12374  ltexp2a  13524  leexp2  13529  leexp2a  13530  expnbnd  13587  expmulnbnd  13590  discr1  13594  eqsqrt2d  14722  bpoly4  15407  isabvd  19585  gzrngunit  20605  fvmptnn04ifa  21452  chfacffsupp  21458  chfacfscmul0  21460  chfacfpmmul0  21464  stdbdxmet  23119  evth  23557  itg2monolem3  24347  mvth  24583  dvlip  24584  dvcvx  24611  ftc1lem4  24630  dgradd2  24852  radcnvlem1  24995  pilem2  25034  coseq00topi  25082  tangtx  25085  tanabsge  25086  cos02pilt1  25105  tanord1  25115  logcnlem4  25222  cxplt  25271  atantan  25495  jensenlem2  25559  jensen  25560  lgamgulmlem2  25601  basellem3  25654  basellem4  25655  basellem8  25659  dchrmusumlema  26063  selberg3lem1  26127  abvcxp  26185  ostth2  26207  axsegconlem8  26704  axsegconlem9  26705  axsegconlem10  26706  axpaschlem  26720  axcontlem2  26745  axcontlem4  26747  axcontlem7  26750  iswwlksnx  27612  wspn0  27697  friendshipgt3  28171  his6  28870  eigrei  29605  cycpmco2lem4  30766  cycpmco2lem5  30767  finexttrb  31047  xrge0iifcv  31172  sgnmul  31795  sgn0bi  31800  sgnmulsgp  31803  signsvfpn  31850  tgoldbachgtde  31926  tgoldbachgtda  31927  lfuhgr2  32360  knoppndvlem18  33863  knoppndvlem19  33864  knoppndvlem21  33866  ftc1cnnclem  34959  areacirclem1  34976  3cubeslem2  39275  irrapxlem2  39413  irrapxlem5  39416  pellexlem2  39420  imo72b2  40518  binomcxplemnotnn0  40681  dvdivbd  42201  dvbdfbdioolem1  42206  ioodvbdlimc1lem1  42209  ioodvbdlimc1lem2  42210  ioodvbdlimc2lem  42212  stoweidlem7  42286  stoweidlem36  42315  wallispilem3  42346  wallispilem4  42347  wallispi2lem1  42350  wallispi2lem2  42351  stirlinglem3  42355  stirlinglem6  42358  stirlinglem7  42359  stirlinglem10  42362  stirlinglem11  42363  stirlinglem12  42364  stirlinglem13  42365  stirlinglem14  42366  stirlinglem15  42367  dirkerval2  42373  dirkeritg  42381  dirkercncflem2  42383  fourierdlem6  42392  fourierdlem7  42393  fourierdlem19  42405  fourierdlem26  42412  fourierdlem30  42416  fourierdlem48  42433  fourierdlem49  42434  fourierdlem51  42436  fourierdlem63  42448  fourierdlem64  42449  fourierdlem71  42456  fourierdlem89  42474  fourierdlem90  42475  fourierdlem91  42476  fourierdlem103  42488  fourierdlem104  42489  fourierdlem112  42497  sqwvfoura  42507  fourierswlem  42509  etransclem4  42517  etransclem31  42544  etransclem32  42545  iccpartgt  43581  rege1logbrege0  44612  eenglngeehlnmlem2  44719  itsclc0yqsol  44745  itscnhlc0xyqsol  44746  itsclc0xyqsolr  44750  itsclinecirc0in  44756  itscnhlinecirc02p  44766  inlinecirc02plem  44767