MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gt0ne0d 11193
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
gt0ne0d.1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
gt0ne0d (𝜑𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d
StepHypRef Expression
1 0re 10632 . 2 0 ∈ ℝ
2 gt0ne0d.1 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3 ltne 10726 . 2 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
41, 2, 3sylancr 587 1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wne 3016   class class class wbr 5058  cr 10525  0cc0 10526   < clt 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-addrcl 10587  ax-rnegex 10597  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669
This theorem is referenced by:  recextlem2  11260  prodgt0  11476  ltdiv1  11493  ltmuldiv  11502  ltrec  11511  lerec  11512  lediv12a  11522  recp1lt1  11527  ledivp1  11531  supmul1  11599  nnne0  11660  rpnnen1lem5  12370  ltexp2a  13520  leexp2  13525  leexp2a  13526  expnbnd  13583  expmulnbnd  13586  discr1  13590  eqsqrt2d  14718  bpoly4  15403  isabvd  19522  gzrngunit  20541  fvmptnn04ifa  21388  chfacffsupp  21394  chfacfscmul0  21396  chfacfpmmul0  21400  stdbdxmet  23054  evth  23492  itg2monolem3  24282  mvth  24518  dvlip  24519  dvcvx  24546  ftc1lem4  24565  dgradd2  24787  radcnvlem1  24930  pilem2  24969  coseq00topi  25017  tangtx  25020  tanabsge  25021  tanord1  25048  logcnlem4  25155  cxplt  25204  atantan  25428  jensenlem2  25493  jensen  25494  lgamgulmlem2  25535  basellem3  25588  basellem4  25589  basellem8  25593  dchrmusumlema  25997  selberg3lem1  26061  abvcxp  26119  ostth2  26141  axsegconlem8  26638  axsegconlem9  26639  axsegconlem10  26640  axpaschlem  26654  axcontlem2  26679  axcontlem4  26681  axcontlem7  26684  iswwlksnx  27546  wspn0  27631  friendshipgt3  28105  his6  28804  eigrei  29539  cycpmco2lem4  30699  cycpmco2lem5  30700  finexttrb  30952  xrge0iifcv  31077  sgnmul  31700  sgn0bi  31705  sgnmulsgp  31708  signsvfpn  31755  tgoldbachgtde  31831  tgoldbachgtda  31832  lfuhgr2  32263  knoppndvlem18  33766  knoppndvlem19  33767  knoppndvlem21  33769  ftc1cnnclem  34847  areacirclem1  34864  3cubeslem2  39162  irrapxlem2  39300  irrapxlem5  39303  pellexlem2  39307  imo72b2  40406  binomcxplemnotnn0  40568  dvdivbd  42088  dvbdfbdioolem1  42093  ioodvbdlimc1lem1  42096  ioodvbdlimc1lem2  42097  ioodvbdlimc2lem  42099  stoweidlem7  42173  stoweidlem36  42202  wallispilem3  42233  wallispilem4  42234  wallispi2lem1  42237  wallispi2lem2  42238  stirlinglem3  42242  stirlinglem6  42245  stirlinglem7  42246  stirlinglem10  42249  stirlinglem11  42250  stirlinglem12  42251  stirlinglem13  42252  stirlinglem14  42253  stirlinglem15  42254  dirkerval2  42260  dirkeritg  42268  dirkercncflem2  42270  fourierdlem6  42279  fourierdlem7  42280  fourierdlem19  42292  fourierdlem26  42299  fourierdlem30  42303  fourierdlem48  42320  fourierdlem49  42321  fourierdlem51  42323  fourierdlem63  42335  fourierdlem64  42336  fourierdlem71  42343  fourierdlem89  42361  fourierdlem90  42362  fourierdlem91  42363  fourierdlem103  42375  fourierdlem104  42376  fourierdlem112  42384  sqwvfoura  42394  fourierswlem  42396  etransclem4  42404  etransclem31  42431  etransclem32  42432  iccpartgt  43434  rege1logbrege0  44516  eenglngeehlnmlem2  44623  itsclc0yqsol  44649  itscnhlc0xyqsol  44650  itsclc0xyqsolr  44654  itsclinecirc0in  44660  itscnhlinecirc02p  44670  inlinecirc02plem  44671
  Copyright terms: Public domain W3C validator