Theorem gt0ne0ii 11179

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11178	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019   class class class wbr 5069  ℝcr 10539  0cc0 10540   < clt 10678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-addrcl 10601  ax-rnegex 10611  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-ltxr 10683

This theorem is referenced by:  eqneg  11363  recgt0ii  11549  nnne0i  11680  2ne0  11744  3ne0  11746  4ne0  11748  8th4div3  11860  halfpm6th  11861  5recm6rec  12245  0.999...  15240  bpoly2  15414  bpoly3  15415  fsumcube  15417  efi4p  15493  resin4p  15494  recos4p  15495  ef01bndlem  15540  cos2bnd  15544  sincos2sgn  15550  ene0  15565  sinhalfpilem  25052  sincos6thpi  25104  sineq0  25112  coseq1  25113  efeq1  25116  cosne0  25117  efif1olem2  25130  efif1olem4  25132  eflogeq  25188  logf1o2  25236  cxpsqrt  25289  root1eq1  25339  sqrt2cxp2logb9e3  25380  ang180lem1  25390  ang180lem2  25391  ang180lem3  25392  2lgsoddprmlem1  25987  2lgsoddprmlem2  25988  chebbnd1lem3  26050  chebbnd1  26051  dp2cl  30560  dp2ltc  30567  dpfrac1  30572  dpmul4  30594  subfaclim  32439  bj-pinftynminfty  34513  taupilem1  34606  proot1ex  39807  coseq0  42151  sinaover2ne0  42155  wallispi  42362  stirlinglem3  42368  stirlinglem15  42380  dirkertrigeqlem2  42391  dirkertrigeqlem3  42392  dirkertrigeq  42393  dirkeritg  42394  dirkercncflem1  42395  fourierdlem24  42423  fourierdlem95  42493  fourierswlem  42522