MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gt0ne0ii 10511
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt2.1 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2 0 < 𝐴
Assertion
Ref Expression
gt0ne0ii 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii
StepHypRef Expression
1 gt0ne0i.2 . 2 0 < 𝐴
2 lt2.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
32gt0ne0i 10510 . 2 (0 < 𝐴𝐴 ≠ 0)
41, 3ax-mp 5 1 𝐴 ≠ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4615  cr 9882  0cc0 9883   < clt 10021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-ltxr 10026
This theorem is referenced by:  eqneg  10692  recgt0ii  10876  nnne0i  11002  2ne0  11060  3ne0  11062  4ne0  11064  8th4div3  11199  halfpm6th  11200  5recm6rec  11633  0.999...  14540  0.999...OLD  14541  bpoly2  14716  bpoly3  14717  fsumcube  14719  efi4p  14795  resin4p  14796  recos4p  14797  ef01bndlem  14842  cos2bnd  14846  sincos2sgn  14852  ene0  14865  sinhalfpilem  24126  sincos6thpi  24178  sineq0  24184  coseq1  24185  efeq1  24186  cosne0  24187  efif1olem2  24200  efif1olem4  24202  eflogeq  24259  logf1o2  24303  ecxp  24326  cxpsqrt  24356  root1eq1  24403  ang180lem1  24446  ang180lem2  24447  ang180lem3  24448  2lgsoddprmlem1  25040  2lgsoddprmlem2  25041  chebbnd1lem3  25067  chebbnd1  25068  subfaclim  30899  bj-pinftynminfty  32768  taupilem1  32821  proot1ex  37281  coseq0  39396  sinaover2ne0  39400  wallispi  39610  stirlinglem3  39616  stirlinglem15  39628  dirkertrigeqlem2  39639  dirkertrigeqlem3  39640  dirkertrigeq  39641  dirkeritg  39642  dirkercncflem1  39643  fourierdlem24  39671  fourierdlem95  39741  fourierswlem  39770  dp2cl  41819  dpfrac1  41822  dpfrac1OLD  41823
  Copyright terms: Public domain W3C validator