MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0srpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gt0srpr 9751
Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
gt0srpr (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R𝐵<P 𝐴)

Proof of Theorem gt0srpr
StepHypRef Expression
1 ltsrpr 9750 . 2 ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴))
2 df-0r 9734 . . 3 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
32breq1i 4580 . 2 (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R )
4 1pr 9689 . . 3 1PP
5 ltapr 9719 . . 3 (1PP → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
64, 5ax-mp 5 . 2 (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴))
71, 3, 63bitr4i 290 1 (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R𝐵<P 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wcel 1975  cop 4126   class class class wbr 4573  (class class class)co 6523  [cec 7600  Pcnp 9533  1Pc1p 9534   +P cpp 9535  <P cltp 9537   ~R cer 9538  0Rc0r 9540   <R cltr 9545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-omul 7425  df-er 7602  df-ec 7604  df-qs 7608  df-ni 9546  df-pli 9547  df-mi 9548  df-lti 9549  df-plpq 9582  df-mpq 9583  df-ltpq 9584  df-enq 9585  df-nq 9586  df-erq 9587  df-plq 9588  df-mq 9589  df-1nq 9590  df-rq 9591  df-ltnq 9592  df-np 9655  df-1p 9656  df-plp 9657  df-ltp 9659  df-enr 9729  df-nr 9730  df-ltr 9733  df-0r 9734
This theorem is referenced by:  recexsrlem  9776  mulgt0sr  9778
  Copyright terms: Public domain W3C validator