Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gtinfOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gtinfOLD 31956
Description: Any number greater than an infimum is greater than some element of the set. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.) Obsolete version of gtinf 31955 as of 10-Oct-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
gtinfOLD (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gtinfOLD
StepHypRef Expression
1 simprl 793 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 gtso 10063 . . . . . . 7 < Or ℝ
32supex 8313 . . . . . 6 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ V
4 brcnvg 5263 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ V) → (𝐴 < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴))
53, 4mpan2 706 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴))
65biimpar 502 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴) → 𝐴 < sup(𝑆, ℝ, < ))
76adantl 482 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → 𝐴 < sup(𝑆, ℝ, < ))
82a1i 11 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → < Or ℝ)
9 infm3 10926 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
10 vex 3189 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
11 vex 3189 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
1210, 11brcnv 5265 . . . . . . . . . 10 (𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑥)
1312notbii 310 . . . . . . . . 9 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥)
1413ralbii 2974 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥)
1511, 10brcnv 5265 . . . . . . . . . 10 (𝑦 < 𝑥𝑥 < 𝑦)
16 vex 3189 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
1711, 16brcnv 5265 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦)
1817rexbii 3034 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)
1915, 18imbi12i 340 . . . . . . . . 9 ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦))
2019ralbii 2974 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦))
2114, 20anbi12i 732 . . . . . . 7 ((∀𝑦𝑆 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
2221rexbii 3034 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
239, 22sylibr 224 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)))
2423adantr 481 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)))
258, 24suplub 8310 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < sup(𝑆, ℝ, < )) → ∃𝑧𝑆 𝐴 < 𝑧))
261, 7, 25mp2and 714 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑧𝑆 𝐴 < 𝑧)
27 brcnvg 5263 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐴))
2816, 27mpan2 706 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐴))
2928rexbidv 3045 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑧𝑆 𝐴 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝐴))
3029ad2antrl 763 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → (∃𝑧𝑆 𝐴 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝐴))
3126, 30mpbid 222 1 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  wss 3555  c0 3891   class class class wbr 4613   Or wor 4994  ccnv 5073  supcsup 8290  cr 9879   < clt 10018  cle 10019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator