Theorem gtned 10778

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 10740	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019   class class class wbr 5069  ℝcr 10539   < clt 10678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-ltxr 10683

This theorem is referenced by:  ltned  10779  seqf1olem1  13412  seqf1olem2  13413  hashfun  13801  abssubne0  14679  rpnnen2lem9  15578  rpnnen2lem11  15580  coe1tmmul2  20447  iccpnfcnv  23551  iccpnfhmeo  23552  pmltpclem2  24053  voliunlem1  24154  dvferm1lem  24584  lhop2  24615  ftc1lem5  24640  vieta1lem2  24903  geolim3  24931  logtayl  25246  atanre  25466  lgamgulmlem2  25610  lgamgulmlem3  25611  perfectlem2  25809  axlowdimlem16  26746  clwwisshclwwslem  27795  frgrogt3nreg  28179  qsidomlem1  30969  esumcvgre  31354  eulerpartlems  31622  hgt750lem  31926  ivthALT  33687  unbdqndv2lem2  33853  knoppndvlem17  33871  poimirlem11  34907  poimirlem12  34908  poimirlem24  34920  rtprmirr  39200  sn-0ne2  39242  pellfundne1  39492  eliccelioc  41803  fmul01lt1lem1  41871  lptre2pt  41927  cncfiooicclem1  42182  cncfioobdlem  42185  dvnmul  42234  ditgeqiooicc  42251  itgioocnicc  42268  iblcncfioo  42269  wallispilem4  42360  wallispi  42362  wallispi2lem1  42363  wallispi2lem2  42364  wallispi2  42365  stirlinglem5  42370  fourierdlem4  42403  fourierdlem34  42433  fourierdlem41  42440  fourierdlem42  42441  fourierdlem48  42446  fourierdlem49  42447  fourierdlem61  42459  fourierdlem73  42471  fourierdlem75  42473  fourierdlem76  42474  fourierdlem81  42479  fourierdlem82  42480  fourierdlem84  42482  fourierdlem93  42491  fourierdlem111  42509  fouriersw  42523  etransclem35  42561  qndenserrnbllem  42586  nnfoctbdjlem  42744  hoidmvlelem3  42886  hoiqssbllem2  42912  smfmullem1  43073  sfprmdvdsmersenne  43775  lighneallem2  43778  perfectALTVlem2  43894  eenglngeehlnmlem2  44732