MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtned Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gtned 10116
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
gtned (𝜑𝐵𝐴)

Proof of Theorem gtned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltned.2 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
3 ltne 10078 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
41, 2, 3syl2anc 692 1 (𝜑𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cr 9879   < clt 10018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023
This theorem is referenced by:  ltned  10117  seqf1olem1  12780  seqf1olem2  12781  hashfun  13164  abssubne0  13990  rpnnen2lem9  14876  rpnnen2lem11  14878  coe1tmmul2  19565  iccpnfcnv  22651  iccpnfhmeo  22652  pmltpclem2  23125  voliunlem1  23225  dvferm1lem  23651  lhop2  23682  ftc1lem5  23707  vieta1lem2  23970  geolim3  23998  logtayl  24306  atanre  24512  lgamgulmlem2  24656  lgamgulmlem3  24657  perfectlem2  24855  axlowdimlem16  25737  clwwisshclwwslem  26793  frgrogt3nreg  27109  nn0sqeq1  29353  esumcvgre  29931  eulerpartlems  30200  ivthALT  31969  unbdqndv2lem2  32140  knoppndvlem17  32158  poimirlem11  33049  poimirlem12  33050  poimirlem24  33062  pellfundne1  36930  eliccelioc  39155  fmul01lt1lem1  39217  lptre2pt  39273  cncfiooicclem1  39407  cncfioobdlem  39410  dvnmul  39461  ditgeqiooicc  39480  itgioocnicc  39497  iblcncfioo  39498  wallispilem4  39589  wallispi  39591  wallispi2lem1  39592  wallispi2lem2  39593  wallispi2  39594  stirlinglem5  39599  fourierdlem4  39632  fourierdlem34  39662  fourierdlem41  39669  fourierdlem42  39670  fourierdlem48  39675  fourierdlem49  39676  fourierdlem61  39688  fourierdlem73  39700  fourierdlem75  39702  fourierdlem76  39703  fourierdlem81  39708  fourierdlem82  39709  fourierdlem84  39711  fourierdlem93  39720  fourierdlem111  39738  fouriersw  39752  etransclem35  39790  qndenserrnbllem  39818  nnfoctbdjlem  39976  hoidmvlelem3  40115  hoiqssbllem2  40141  smfmullem1  40302  sfprmdvdsmersenne  40816  lighneallem2  40819  perfectALTVlem2  40923
  Copyright terms: Public domain W3C validator