Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gtnelioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gtnelioc 38458
Description: A real number larger than the upper bound of a left open right closed interval is not an element of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gtnelioc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
gtnelioc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
gtnelioc.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
gtnelioc.bltc (𝜑𝐵 < 𝐶)
Assertion
Ref Expression
gtnelioc (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))

Proof of Theorem gtnelioc
StepHypRef Expression
1 gtnelioc.bltc . . . 4 (𝜑𝐵 < 𝐶)
2 gtnelioc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32rexrd 9844 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
4 gtnelioc.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
5 xrltnle 9855 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝐵))
63, 4, 5syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝐵))
71, 6mpbid 220 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐵)
87intn3an3d 1435 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
9 gtnelioc.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
10 elioc2 11976 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
119, 2, 10syl2anc 690 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
128, 11mtbird 313 1 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  w3a 1030  wcel 1938   class class class wbr 4481  (class class class)co 6426  cr 9690  *cxr 9828   < clt 9829  cle 9830  (,]cioc 11916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-ioc 11920
This theorem is referenced by:  fourierswlem  39028  fouriersw  39029  etransclem18  39051  etransclem46  39079
  Copyright terms: Public domain W3C validator