HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1datomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1datomi 29285
Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1datom.1 𝐴C
h1datom.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
h1datomi (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem h1datomi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 h1datom.1 . . . . . . . 8 𝐴C
21chne0i 29157 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ 0 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 ≠ 0)
3 ssel 3958 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
4 h1datom.2 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ ℋ
54h1de2ci 29260 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵))
6 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
7 ax-hvmul0 28714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ ℋ → (0 · 𝐵) = 0)
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 · 𝐵) = 0
96, 8syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝐵) = 0)
10 eqeq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦 · 𝐵) = 0))
119, 10syl5ibr 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑦 = 0 → 𝑥 = 0))
1211necon3d 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥 ≠ 0𝑦 ≠ 0))
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0𝑦 ≠ 0))
14 reccl 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
151chshii 28931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐴S
16 shmulcl 28922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴S ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐴) → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴)
1715, 16mp3an1 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐴) → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴)
1817ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → (𝑥𝐴 → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴))
1914, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥𝐴 → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴))
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥𝐴 → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴))
21 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → ((1 / 𝑦) · 𝑥) = ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)))
22 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
23 ax-hvmulass 28711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) · 𝐵) = ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)))
244, 23mp3an3 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) · 𝐵) = ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)))
2514, 22, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) · 𝐵) = ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)))
26 recid2 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) · 𝑦) = 1)
2726oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
2825, 27eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)) = (1 · 𝐵))
29 ax-hvmulid 28710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ ℋ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
304, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 · 𝐵) = 𝐵
3128, 30syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)) = 𝐵)
3221, 31sylan9eqr 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → ((1 / 𝑦) · 𝑥) = 𝐵)
3332eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴𝐵𝐴))
3420, 33sylibd 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥𝐴𝐵𝐴))
3534exp31 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥𝐴𝐵𝐴))))
3635com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥𝐴𝐵𝐴))))
3736imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥𝐴𝐵𝐴)))
3813, 37syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0 → (𝑥𝐴𝐵𝐴)))
3938com3r 87 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴)))
4039expd 416 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴))))
4140rexlimdv 3280 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴)))
425, 41syl5bi 243 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴)))
433, 42sylcom 30 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥𝐴 → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴)))
4443rexlimdv 3280 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (∃𝑥𝐴 𝑥 ≠ 0𝐵𝐴))
452, 44syl5bi 243 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0𝐵𝐴))
46 snssi 4733 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
47 snssi 4733 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
484, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝐵} ⊆ ℋ
491chssii 28935 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ ℋ
5048, 49occon2i 28993 . . . . . . . 8 ({𝐵} ⊆ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
5146, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
521ococi 29109 . . . . . . 7 (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
5351, 52sseqtrdi 4014 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)
5445, 53syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
5554anc2li 556 . . . 4 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)))
56 eqss 3979 . . . 4 (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
5755, 56syl6ibr 253 . . 3 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
5857necon1d 3035 . 2 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0))
59 neor 3105 . 2 ((𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0) ↔ (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0))
6058, 59sylibr 235 1 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  wss 3933  {csn 4557  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   / cdiv 11285  chba 28623   · csm 28625  0c0v 28628   S csh 28632   C cch 28633  cort 28634  0c0h 28639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hvcom 28705  ax-hvass 28706  ax-hv0cl 28707  ax-hvaddid 28708  ax-hfvmul 28709  ax-hvmulid 28710  ax-hvmulass 28711  ax-hvdistr1 28712  ax-hvdistr2 28713  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his1 28786  ax-his2 28787  ax-his3 28788  ax-his4 28789  ax-hcompl 28906
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-lm 21765  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cfil 23785  df-cau 23786  df-cmet 23787  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-gdiv 28200  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-vs 28303  df-nmcv 28304  df-ims 28305  df-dip 28405  df-ssp 28426  df-ph 28517  df-cbn 28567  df-hnorm 28672  df-hba 28673  df-hvsub 28675  df-hlim 28676  df-hcau 28677  df-sh 28911  df-ch 28925  df-oc 28956  df-ch0 28957
This theorem is referenced by:  h1datom  29286
  Copyright terms: Public domain W3C validator