Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1datomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1datomi 28568
 Description: A 1-dimensional subspace is an atom. (Contributed by NM, 20-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1datom.1 𝐴C
h1datom.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
h1datomi (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem h1datomi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 h1datom.1 . . . . . . . 8 𝐴C
21chne0i 28440 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ 0 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 ≠ 0)
3 ssel 3630 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
4 h1datom.2 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ ℋ
54h1de2ci 28543 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵))
6 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
7 ax-hvmul0 27995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ ℋ → (0 · 𝐵) = 0)
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 · 𝐵) = 0
96, 8syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 0 → (𝑦 · 𝐵) = 0)
10 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦 · 𝐵) = 0))
119, 10syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑦 = 0 → 𝑥 = 0))
1211necon3d 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥 ≠ 0𝑦 ≠ 0))
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0𝑦 ≠ 0))
14 reccl 10730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
151chshii 28212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐴S
16 shmulcl 28203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴S ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐴) → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴)
1715, 16mp3an1 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐴) → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴)
1817ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → (𝑥𝐴 → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴))
1914, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥𝐴 → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴))
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥𝐴 → ((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴))
21 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → ((1 / 𝑦) · 𝑥) = ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)))
22 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
23 ax-hvmulass 27992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) · 𝐵) = ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)))
244, 23mp3an3 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) · 𝐵) = ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)))
2514, 22, 24syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) · 𝐵) = ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)))
26 recid2 10738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) · 𝑦) = 1)
2726oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (((1 / 𝑦) · 𝑦) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
2825, 27eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)) = (1 · 𝐵))
29 ax-hvmulid 27991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ ℋ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
304, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 · 𝐵) = 𝐵
3128, 30syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((1 / 𝑦) · (𝑦 · 𝐵)) = 𝐵)
3221, 31sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → ((1 / 𝑦) · 𝑥) = 𝐵)
3332eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (((1 / 𝑦) · 𝑥) ∈ 𝐴𝐵𝐴))
3420, 33sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥𝐴𝐵𝐴))
3534exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥𝐴𝐵𝐴))))
3635com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥𝐴𝐵𝐴))))
3736imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑦 ≠ 0 → (𝑥𝐴𝐵𝐴)))
3813, 37syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0 → (𝑥𝐴𝐵𝐴)))
3938com3r 87 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵)) → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴)))
4039expd 451 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴))))
4140rexlimdv 3059 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴)))
425, 41syl5bi 232 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴)))
433, 42sylcom 30 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝑥𝐴 → (𝑥 ≠ 0𝐵𝐴)))
4443rexlimdv 3059 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (∃𝑥𝐴 𝑥 ≠ 0𝐵𝐴))
452, 44syl5bi 232 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0𝐵𝐴))
46 snssi 4371 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
47 snssi 4371 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
484, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝐵} ⊆ ℋ
491chssii 28216 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ ℋ
5048, 49occon2i 28276 . . . . . . . 8 ({𝐵} ⊆ 𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
5146, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
521ococi 28392 . . . . . . 7 (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
5351, 52syl6sseq 3684 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)
5445, 53syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
5554anc2li 579 . . . 4 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴)))
56 eqss 3651 . . . 4 (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∧ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ⊆ 𝐴))
5755, 56syl6ibr 242 . . 3 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ 0𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
5857necon1d 2845 . 2 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0))
59 neor 2914 . 2 ((𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0) ↔ (𝐴 ≠ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → 𝐴 = 0))
6058, 59sylibr 224 1 (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (𝐴 = (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∨ 𝐴 = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   / cdiv 10722   ℋchil 27904   ·ℎ csm 27906  0ℎc0v 27909   Sℋ csh 27913   Cℋ cch 27914  ⊥cort 27915  0ℋc0h 27920 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238 This theorem is referenced by:  h1datom  28569
 Copyright terms: Public domain W3C validator