HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1de2ctlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1de2ctlem 29260
Description: Lemma for h1de2ci 29261. (Contributed by NM, 19-Jul-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1de2.1 𝐴 ∈ ℋ
h1de2.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
h1de2ctlem (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem h1de2ctlem
StepHypRef Expression
1 sneq 4569 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → {𝐵} = {0})
21fveq2d 6668 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 → (⊥‘{𝐵}) = (⊥‘{0}))
32fveq2d 6668 . . . . . 6 (𝐵 = 0 → (⊥‘(⊥‘{𝐵})) = (⊥‘(⊥‘{0})))
43eleq2d 2898 . . . . 5 (𝐵 = 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{0}))))
5 h1de2.1 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℋ
65elexi 3514 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
76elsn 4574 . . . . . 6 (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0)
8 hsn0elch 28953 . . . . . . . 8 {0} ∈ C
98ococi 29110 . . . . . . 7 (⊥‘(⊥‘{0})) = {0}
109eleq2i 2904 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{0})) ↔ 𝐴 ∈ {0})
11 h1de2.2 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℋ
12 ax-hvmul0 28715 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℋ → (0 · 𝐵) = 0)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 · 𝐵) = 0
1413eqeq2i 2834 . . . . . 6 (𝐴 = (0 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 0)
157, 10, 143bitr4ri 305 . . . . 5 (𝐴 = (0 · 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{0})))
164, 15syl6rbbr 291 . . . 4 (𝐵 = 0 → (𝐴 = (0 · 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
17 0cn 10622 . . . . 5 0 ∈ ℂ
18 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
1918rspceeqv 3637 . . . . 5 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (0 · 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵))
2017, 19mpan 686 . . . 4 (𝐴 = (0 · 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵))
2116, 20syl6bir 255 . . 3 (𝐵 = 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵)))
225, 11h1de2bi 29259 . . . 4 (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)))
23 his6 28804 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
2411, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐵 ·ih 𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0)
2524necon3bii 3068 . . . . . . 7 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0)
265, 11hicli 28786 . . . . . . . 8 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
2711, 11hicli 28786 . . . . . . . 8 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
2826, 27divclzi 11364 . . . . . . 7 ((𝐵 ·ih 𝐵) ≠ 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ)
2925, 28sylbir 236 . . . . . 6 (𝐵 ≠ 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ)
30 oveq1 7152 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) → (𝑥 · 𝐵) = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵))
3130rspceeqv 3637 . . . . . 6 ((((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵))
3229, 31sylan 580 . . . . 5 ((𝐵 ≠ 0𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵))
3332ex 413 . . . 4 (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 = (((𝐴 ·ih 𝐵) / (𝐵 ·ih 𝐵)) · 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵)))
3422, 33sylbid 241 . . 3 (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵)))
3521, 34pm2.61ine 3100 . 2 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵))
36 snssi 4735 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
37 occl 29009 . . . . . . . 8 ({𝐵} ⊆ ℋ → (⊥‘{𝐵}) ∈ C )
3811, 36, 37mp2b 10 . . . . . . 7 (⊥‘{𝐵}) ∈ C
3938choccli 29012 . . . . . 6 (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ C
4039chshii 28932 . . . . 5 (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ S
41 h1did 29256 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
4211, 41ax-mp 5 . . . . 5 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))
43 shmulcl 28923 . . . . 5 (((⊥‘(⊥‘{𝐵})) ∈ S𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))) → (𝑥 · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
4440, 42, 43mp3an13 1443 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
45 eleq1 2900 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 · 𝐵) → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (𝑥 · 𝐵) ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
4644, 45syl5ibrcom 248 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (𝐴 = (𝑥 · 𝐵) → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵}))))
4746rexlimiv 3280 . 2 (∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵) → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})))
4835, 47impbii 210 1 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016  wrex 3139  wss 3935  {csn 4559  cfv 6349  (class class class)co 7145  cc 10524  0cc0 10526   / cdiv 11286  chba 28624   · csm 28626   ·ih csp 28627  0c0v 28629   S csh 28633   C cch 28634  cort 28635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28704  ax-hfvadd 28705  ax-hvcom 28706  ax-hvass 28707  ax-hv0cl 28708  ax-hvaddid 28709  ax-hfvmul 28710  ax-hvmulid 28711  ax-hvmulass 28712  ax-hvdistr1 28713  ax-hvdistr2 28714  ax-hvmul0 28715  ax-hfi 28784  ax-his1 28787  ax-his2 28788  ax-his3 28789  ax-his4 28790  ax-hcompl 28907
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-acn 9360  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-submnd 17947  df-mulg 18165  df-cntz 18387  df-cmn 18839  df-psmet 20467  df-xmet 20468  df-met 20469  df-bl 20470  df-mopn 20471  df-fbas 20472  df-fg 20473  df-cnfld 20476  df-top 21432  df-topon 21449  df-topsp 21471  df-bases 21484  df-cld 21557  df-ntr 21558  df-cls 21559  df-nei 21636  df-cn 21765  df-cnp 21766  df-lm 21767  df-haus 21853  df-tx 22100  df-hmeo 22293  df-fil 22384  df-fm 22476  df-flim 22477  df-flf 22478  df-xms 22859  df-ms 22860  df-tms 22861  df-cfil 23787  df-cau 23788  df-cmet 23789  df-grpo 28198  df-gid 28199  df-ginv 28200  df-gdiv 28201  df-ablo 28250  df-vc 28264  df-nv 28297  df-va 28300  df-ba 28301  df-sm 28302  df-0v 28303  df-vs 28304  df-nmcv 28305  df-ims 28306  df-dip 28406  df-ssp 28427  df-ph 28518  df-cbn 28568  df-hnorm 28673  df-hba 28674  df-hvsub 28676  df-hlim 28677  df-hcau 28678  df-sh 28912  df-ch 28926  df-oc 28957  df-ch0 28958
This theorem is referenced by:  h1de2ci  29261
  Copyright terms: Public domain W3C validator