HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1de2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1de2i 28261
Description: Membership in 1-dimensional subspace. All members are collinear with the generating vector. (Contributed by NM, 17-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h1de2.1 𝐴 ∈ ℋ
h1de2.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
h1de2i (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))

Proof of Theorem h1de2i
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 h1de2.2 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ ℋ
21, 1hicli 27787 . . . . . . . 8 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
3 h1de2.1 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℋ
42, 3hvmulcli 27720 . . . . . . 7 ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ∈ ℋ
53, 1hicli 27787 . . . . . . . 8 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
65, 1hvmulcli 27720 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ∈ ℋ
7 his2sub 27798 . . . . . . 7 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ∈ ℋ ∧ ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐴) = ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) − (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴)))
84, 6, 3, 7mp3an 1421 . . . . . 6 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐴) = ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) − (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴))
9 ax-his3 27790 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
102, 3, 3, 9mp3an 1421 . . . . . . . 8 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴))
113, 3hicli 27787 . . . . . . . . 9 (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
122, 11mulcomi 9990 . . . . . . . 8 ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵))
1310, 12eqtri 2643 . . . . . . 7 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵))
14 ax-his3 27790 . . . . . . . 8 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
155, 1, 3, 14mp3an 1421 . . . . . . 7 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴))
1613, 15oveq12i 6616 . . . . . 6 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) − (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
178, 16eqtr2i 2644 . . . . 5 (((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴))) = ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐴)
18 his2sub 27798 . . . . . . . 8 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ∈ ℋ ∧ ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐵) = ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) − (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵)))
194, 6, 1, 18mp3an 1421 . . . . . . 7 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐵) = ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) − (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵))
202, 5mulcomi 9990 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵))
21 ax-his3 27790 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
222, 3, 1, 21mp3an 1421 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵))
23 ax-his3 27790 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
245, 1, 1, 23mp3an 1421 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵))
2520, 22, 243eqtr4i 2653 . . . . . . . 8 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵)
264, 1hicli 27787 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ
276, 1hicli 27787 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵) ∈ ℂ
2826, 27subeq0i 10305 . . . . . . . 8 (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) − (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵)) = 0 ↔ (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵))
2925, 28mpbir 221 . . . . . . 7 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) − (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵)) = 0
3019, 29eqtri 2643 . . . . . 6 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐵) = 0
311h1dei 28258 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)))
323, 31mpbiran 952 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0))
334, 6hvsubcli 27727 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ∈ ℋ
34 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) → (𝐵 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))))
3534eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) → ((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐵 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0))
36 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) → (𝐴 ·ih 𝑥) = (𝐴 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))))
3736eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) → ((𝐴 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐴 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0))
3835, 37imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) → (((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0) ↔ ((𝐵 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0 → (𝐴 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0)))
3938rspcv 3291 . . . . . . . . 9 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0) → ((𝐵 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0 → (𝐴 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0)))
4033, 39ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝑥) = 0) → ((𝐵 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0 → (𝐴 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0))
4132, 40sylbi 207 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ((𝐵 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0 → (𝐴 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0))
42 orthcom 27814 . . . . . . . 8 (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0))
4333, 1, 42mp2an 707 . . . . . . 7 (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0)
44 orthcom 27814 . . . . . . . 8 (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0))
4533, 3, 44mp2an 707 . . . . . . 7 (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0)
4641, 43, 453imtr4g 285 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐵) = 0 → ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐴) = 0))
4730, 46mpi 20 . . . . 5 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih 𝐴) = 0)
4817, 47syl5eq 2667 . . . 4 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → (((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴))) = 0)
4911, 2mulcli 9989 . . . . 5 ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
501, 3hicli 27787 . . . . . 6 (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
515, 50mulcli 9989 . . . . 5 ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) ∈ ℂ
5249, 51subeq0i 10305 . . . 4 ((((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴))) = 0 ↔ ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
5348, 52sylib 208 . . 3 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
5453eqcomd 2627 . 2 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
553, 1bcseqi 27826 . 2 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) ↔ ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))
5654, 55sylib 208 1 (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐵})) → ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {csn 4148  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880   · cmul 9885  cmin 10210  chil 27625   · csm 27627   ·ih csp 27628   cmv 27631  cort 27636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960  ax-hilex 27705  ax-hfvadd 27706  ax-hvcom 27707  ax-hvass 27708  ax-hv0cl 27709  ax-hvaddid 27710  ax-hfvmul 27711  ax-hvmulid 27712  ax-hvmulass 27713  ax-hvdistr1 27714  ax-hvdistr2 27715  ax-hvmul0 27716  ax-hfi 27785  ax-his1 27788  ax-his2 27789  ax-his3 27790  ax-his4 27791  ax-hcompl 27908
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-lm 20943  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cau 22962  df-grpo 27196  df-gid 27197  df-ginv 27198  df-gdiv 27199  df-ablo 27248  df-vc 27263  df-nv 27296  df-va 27299  df-ba 27300  df-sm 27301  df-0v 27302  df-vs 27303  df-nmcv 27304  df-ims 27305  df-dip 27405  df-hnorm 27674  df-hvsub 27677  df-hlim 27678  df-hcau 27679  df-sh 27913  df-ch 27927  df-oc 27958
This theorem is referenced by:  h1de2bi  28262
  Copyright terms: Public domain W3C validator