HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h2hcau 28066
Description: The Cauchy sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2hc.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
h2hc.2 𝑈 ∈ NrmCVec
h2hc.3 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
h2hc.4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
h2hcau Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))

Proof of Theorem h2hcau
Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3023 . 2 {𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥)}
2 df-hcau 28060 . 2 Cauchy = {𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥}
3 elin 3904 . . . 4 (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
4 ancom 465 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
5 h2hc.3 . . . . . . . 8 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
65hlex 27984 . . . . . . 7 ℋ ∈ V
7 nnex 11139 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
86, 7elmap 8003 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
9 nnuz 11837 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
10 h2hc.2 . . . . . . . . 9 𝑈 ∈ NrmCVec
11 h2hc.4 . . . . . . . . . 10 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
125, 11imsxmet 27777 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
1310, 12mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
14 1zzd 11521 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 1 ∈ ℤ)
15 eqidd 2725 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑘))
16 eqidd 2725 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑓𝑗) = (𝑓𝑗))
17 id 22 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
189, 13, 14, 15, 16, 17iscauf 23199 . . . . . . 7 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑗)𝐷(𝑓𝑘)) < 𝑥))
19 ffvelrn 6472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑓𝑗) ∈ ℋ)
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑓𝑗) ∈ ℋ)
21 eluznn 11872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22 ffvelrn 6472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ℋ)
2321, 22sylan2 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑓𝑘) ∈ ℋ)
2423anassrs 683 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑓𝑘) ∈ ℋ)
25 h2hc.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2625, 10, 5, 11h2hmetdval 28065 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝑓𝑘) ∈ ℋ) → ((𝑓𝑗)𝐷(𝑓𝑘)) = (norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))))
2720, 24, 26syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑓𝑗)𝐷(𝑓𝑘)) = (norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))))
2827breq1d 4770 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝑓𝑗)𝐷(𝑓𝑘)) < 𝑥 ↔ (norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥))
2928ralbidva 3087 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑗)𝐷(𝑓𝑘)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥))
3029rexbidva 3151 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑗)𝐷(𝑓𝑘)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥))
3130ralbidv 3088 . . . . . . 7 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑗)𝐷(𝑓𝑘)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥))
3218, 31bitrd 268 . . . . . 6 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥))
338, 32sylbi 207 . . . . 5 (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥))
3433pm5.32i 672 . . . 4 ((𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥))
353, 4, 343bitri 286 . . 3 (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥))
3635abbi2i 2840 . 2 ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥)}
371, 2, 363eqtr4i 2756 1 Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  {cab 2710  wral 3014  wrex 3015  {crab 3018  cin 3679  cop 4291   class class class wbr 4760  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  𝑚 cmap 7974  1c1 10050   < clt 10187  cn 11133  cuz 11800  +crp 11946  ∞Metcxmt 19854  Caucca 23172  NrmCVeccnv 27669  BaseSetcba 27671  IndMetcims 27676  chil 28006   + cva 28007   · csm 28008  normcno 28010   cmv 28012  Cauchyccau 28013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-cau 23175  df-grpo 27577  df-gid 27578  df-ginv 27579  df-gdiv 27580  df-ablo 27629  df-vc 27644  df-nv 27677  df-va 27680  df-ba 27681  df-sm 27682  df-0v 27683  df-vs 27684  df-nmcv 27685  df-ims 27686  df-hvsub 28058  df-hcau 28060
This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  28085  hhcau  28285
  Copyright terms: Public domain W3C validator