HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hlm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h2hlm 28167
Description: The limit sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2hl.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
h2hl.2 𝑈 ∈ NrmCVec
h2hl.3 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
h2hl.4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
h2hl.5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
h2hlm 𝑣 = ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))

Proof of Theorem h2hlm
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-hlim 28159 . . 3 𝑣 = {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)}
21relopabi 5401 . 2 Rel ⇝𝑣
3 relres 5584 . 2 Rel ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
41eleq2i 2831 . . 3 (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)})
5 opabid 5132 . . 3 (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)} ↔ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
6 ancom 465 . . . . 5 ((⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽)))
7 h2hl.3 . . . . . . . 8 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
87hlex 28084 . . . . . . 7 ℋ ∈ V
9 nnex 11238 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
108, 9elmap 8054 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
1110anbi1i 733 . . . . 5 ((𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽)) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽)))
12 df-br 4805 . . . . . . 7 (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽))
13 h2hl.5 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
14 h2hl.2 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
15 h2hl.4 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
167, 15imsxmet 27877 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
1714, 16mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
18 nnuz 11936 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
19 1zzd 11620 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 1 ∈ ℤ)
20 eqidd 2761 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑘))
21 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
2213, 17, 18, 19, 20, 21lmmbrf 23280 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦)))
23 eluznn 11971 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
24 ffvelrn 6521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ℋ)
25 h2hl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2625, 14, 7, 15h2hmetdval 28165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓𝑘) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑓𝑘)𝐷𝑥) = (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)))
2724, 26sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑓𝑘)𝐷𝑥) = (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)))
2827breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
2928an32s 881 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
3023, 29sylan2 492 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
3130anassrs 683 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
3231ralbidva 3123 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
3332rexbidva 3187 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
3433ralbidv 3124 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
3534pm5.32da 676 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)))
3622, 35bitrd 268 . . . . . . 7 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)))
3712, 36syl5bbr 274 . . . . . 6 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)))
3837pm5.32i 672 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽)) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)))
396, 11, 383bitrri 287 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)) ↔ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
40 anass 684 . . . 4 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)))
41 vex 3343 . . . . 5 𝑥 ∈ V
4241opelres 5559 . . . 4 (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
4339, 40, 423bitr4i 292 . . 3 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
444, 5, 433bitri 286 . 2 (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
452, 3, 44eqrelriiv 5371 1 𝑣 = ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  cop 4327   class class class wbr 4804  {copab 4864  cres 5268  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑚 cmap 8025  1c1 10149   < clt 10286  cn 11232  cuz 11899  +crp 12045  ∞Metcxmt 19953  MetOpencmopn 19958  𝑡clm 21252  NrmCVeccnv 27769  BaseSetcba 27771  IndMetcims 27776  chil 28106   + cva 28107   · csm 28108  normcno 28110   cmv 28112  𝑣 chli 28114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-topgen 16326  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972  df-lm 21255  df-grpo 27677  df-gid 27678  df-ginv 27679  df-gdiv 27680  df-ablo 27729  df-vc 27744  df-nv 27777  df-va 27780  df-ba 27781  df-sm 27782  df-0v 27783  df-vs 27784  df-nmcv 27785  df-ims 27786  df-hvsub 28158  df-hlim 28159
This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  28185  hlimadd  28380  hhlm  28386
  Copyright terms: Public domain W3C validator