Theorem h2hlm 28751

Description: The limit sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2hl.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
h2hl.2	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
h2hl.3	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
h2hl.4	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
h2hl.5	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
h2hlm	⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))

Proof of Theorem h2hlm

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hlim 28743	. . 3 ⊢ ⇝𝑣 = {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)}
2	1	relopabi 5688	. 2 ⊢ Rel ⇝𝑣
3		relres 5876	. 2 ⊢ Rel ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
4	1	eleq2i 2904	. . 3 ⊢ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)})
5		opabidw 5404	. . 3 ⊢ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)} ↔ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
6		h2hl.3	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
7	6	hlex 28669	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
8		nnex 11638	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
9	7, 8	elmap 8429	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
10	9	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)))
11		df-br 5059	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽))
12		h2hl.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
13		h2hl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
14		h2hl.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
15	6, 14	imsxmet 28463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
16	13, 15	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
17		nnuz 12275	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
18		1zzd 12007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 1 ∈ ℤ)
19		eqidd 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
20		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
21	12, 16, 17, 18, 19, 20	lmmbrf 23859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦)))
22		eluznn 12312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
23		ffvelrn 6843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ)
24		h2hl.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
25	24, 13, 6, 14	h2hmetdval 28749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓‘𝑘) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) = (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)))
26	23, 25	sylan 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) = (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)))
27	26	breq1d 5068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
28	27	an32s 650	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
29	22, 28	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
30	29	anassrs 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
31	30	ralbidva 3196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
32	31	rexbidva 3296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
33	32	ralbidv 3197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
34	33	pm5.32da 581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
35	21, 34	bitrd 281	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
36	11, 35	syl5bbr 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
37	36	pm5.32i 577	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
38	10, 37	bitr2i 278	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)))
39		anass 471	. . . 4 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
40		opelres 5853	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ V → (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽))))
41	40	elv 3499	. . . 4 ⊢ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)))
42	38, 39, 41	3bitr4i 305	. . 3 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦) ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
43	4, 5, 42	3bitri 299	. 2 ⊢ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
44	2, 3, 43	eqrelriiv 5657	1 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  Vcvv 3494  ⟨cop 4566   class class class wbr 5058  {copab 5120   ↾ cres 5551  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ↑_m cmap 8400  1c1 10532   < clt 10669  ℕcn 11632  ℤ_≥cuz 12237  ℝ⁺crp 12383  ∞Metcxmet 20524  MetOpencmopn 20529  ⇝_𝑡clm 21828  NrmCVeccnv 28355  BaseSetcba 28357  IndMetcims 28362   ℋchba 28690   +_ℎ cva 28691   ·_ℎ csm 28692  norm_ℎcno 28694   −_ℎ cmv 28696   ⇝_𝑣 chli 28698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-topgen 16711  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-top 21496  df-topon 21513  df-bases 21548  df-lm 21831  df-grpo 28264  df-gid 28265  df-ginv 28266  df-gdiv 28267  df-ablo 28316  df-vc 28330  df-nv 28363  df-va 28366  df-ba 28367  df-sm 28368  df-0v 28369  df-vs 28370  df-nmcv 28371  df-ims 28372  df-hvsub 28742  df-hlim 28743

This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  28769  hlimadd  28964  hhlm  28970