MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfcl 11010
Description: Closure of half of a number (common case). (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
halfcl (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcl
StepHypRef Expression
1 2cn 10844 . 2 2 ∈ ℂ
2 2ne0 10866 . 2 2 ≠ 0
3 divcl 10438 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
41, 2, 3mp3an23 1407 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1938  wne 2684  (class class class)co 6425  cc 9687  0cc0 9689   / cdiv 10431  2c2 10823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-div 10432  df-2 10832
This theorem is referenced by:  halfaddsubcl  11017  subhalfhalf  11019  halfcld  11030  geo2sum  14308  efhalfpi  23944  cosq14gt0  23983  cosq14ge0  23984  abssinper  23991  coseq1  23995  efeq1  23996  sqrtcn  24208  1cubr  24286  dquartlem1  24295  acosf  24318  atanf  24324  acosneg  24331  acoscos  24337  acos1  24339  sinacos  24349  atanneg  24351  atancj  24354  efiatan  24356  efiatan2  24361  2efiatan  24362  atantan  24367  atanbndlem  24369  dvatan  24379  atantayl  24381  gausslemma2dlem1a  24809  minvecolem2  26923  minvecolem2OLD  26933  sin2h  32451  cos2h  32452  dirkercncflem2  38902  fourierdlem58  38964
  Copyright terms: Public domain W3C validator