Theorem halfcld 11876

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 11856	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℂcc 10529   / cdiv 11291  2c2 11686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-2 11694

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  11885  zeo  12062  zesq  13581  faclbnd2  13645  crre  14467  ef4p  15460  cosf  15472  efi4p  15484  sinhval  15501  addsin  15517  zob  15702  nn0ob  15729  flodddiv4t2lthalf  15761  4sqlem10  16277  lhop1lem  24604  chordthmlem  25404  chordthmlem2  25405  chordthmlem3  25406  chordthmlem4  25407  chordthmlem5  25408  dcubic2  25416  dcubic1  25417  dcubic  25418  mcubic  25419  cubic  25421  dquartlem1  25423  dquart  25425  quart1cl  25426  quart1lem  25427  quart1  25428  quartlem3  25431  quartlem4  25432  quart  25433  lgsquad2lem2  25955  lgsquad2  25956  logdivsum  26103  mulog2sumlem2  26105  mulog2sumlem3  26106  vmalogdivsum2  26108  selberg34r  26141  pntlemr  26172  lt2addrd  30469  logdivsqrle  31916  sin2h  34876  cos2h  34877  tan2h  34878  itg2addnclem  34937  oddfl  41535  suplesup  41599  coseq0  42137  sinaover2ne0  42141  wallispilem4  42346  wallispi  42348  stirlinglem1  42352  stirlinglem4  42355  stirlinglem7  42358  stirlinglem15  42366  dirker2re  42370  dirkerdenne0  42371  dirkerper  42374  dirkertrigeqlem2  42377  dirkertrigeqlem3  42378  dirkeritg  42380  dirkercncflem1  42381  dirkercncflem2  42382  dirkercncflem4  42384  fourierdlem43  42428  fourierdlem44  42429  fourierdlem56  42440  fourierdlem58  42442  fourierdlem62  42446  fourierdlem68  42452  fourierdlem72  42456  fourierdlem76  42460  fourierdlem79  42463  fourierdlem80  42464  fourierdlem103  42487  fourierdlem104  42488  fourierdlem112  42496  dignn0flhalflem1  44668