MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfcld 11489
Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
2timesd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
halfcld (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld
StepHypRef Expression
1 2timesd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 halfcl 11469 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  (class class class)co 6814  cc 10146   / cdiv 10896  2c2 11282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-2 11291
This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  11498  zeo  11675  zesq  13201  faclbnd2  13292  crre  14073  ef4p  15062  cosf  15074  efi4p  15086  sinhval  15103  addsin  15119  zob  15305  nn0ob  15322  flodddiv4t2lthalf  15362  4sqlem10  15873  lhop1lem  23995  chordthmlem  24779  chordthmlem2  24780  chordthmlem3  24781  chordthmlem4  24782  chordthmlem5  24783  dcubic2  24791  dcubic1  24792  dcubic  24793  mcubic  24794  cubic  24796  dquartlem1  24798  dquart  24800  quart1cl  24801  quart1lem  24802  quart1  24803  quartlem3  24806  quartlem4  24807  quart  24808  lgsquad2lem2  25330  lgsquad2  25331  logdivsum  25442  mulog2sumlem2  25444  mulog2sumlem3  25445  vmalogdivsum2  25447  selberg34r  25480  pntlemr  25511  lt2addrd  29846  logdivsqrle  31058  sin2h  33730  cos2h  33731  tan2h  33732  itg2addnclem  33792  oddfl  40006  suplesup  40071  coseq0  40596  sinaover2ne0  40600  wallispilem4  40806  wallispi  40808  stirlinglem1  40812  stirlinglem4  40815  stirlinglem7  40818  stirlinglem15  40826  dirker2re  40830  dirkerdenne0  40831  dirkerper  40834  dirkertrigeqlem2  40837  dirkertrigeqlem3  40838  dirkeritg  40840  dirkercncflem1  40841  dirkercncflem2  40842  dirkercncflem4  40844  fourierdlem43  40888  fourierdlem44  40889  fourierdlem56  40900  fourierdlem58  40902  fourierdlem62  40906  fourierdlem68  40912  fourierdlem72  40916  fourierdlem76  40920  fourierdlem79  40923  fourierdlem80  40924  fourierdlem103  40947  fourierdlem104  40948  fourierdlem112  40956  dignn0flhalflem1  42937
  Copyright terms: Public domain W3C validator