Theorem halfpm6th 6034

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ⋀ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 6002	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
2	1	nncn 5934	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
3		ax1cn 5281	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		2cn 5982	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	1	nnne0 5953	. . . . . 6 ⊢ 3 ≠ 0
6		2ne0 5992	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
7	2, 2, 3, 4, 5, 6	divmuldiv 5788	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
8	2, 5	divid 5771	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 3) = 1
9	8	opreq1i 3977	. . . . . 6 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
10		2re 5981	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10, 6	rereccl 5803	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
12	11	recn 5326	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
13	12	mulid2 5345	. . . . . 6 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
14	9, 13	eqtr 1498	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
15	2	mulid1 5344	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
16		3t2e6 6025	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
17	15, 16	opreq12i 3979	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
18	7, 14, 17	3eqtr3 1506	. . . 4 ⊢ (1 / 2) = (3 / 6)
19	18	opreq1i 3977	. . 3 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
20		6re 5986	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℝ
21	20	recn 5326	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
22		6pos 5996	. . . . . 6 ⊢ 0 < 6
23	20, 22	gt0ne0i 5629	. . . . 5 ⊢ 6 ≠ 0
24		divsubdirtOLD 5777	. . . . 5 ⊢ (((3 ∈ ℂ ⋀ 1 ∈ ℂ ⋀ 6 ∈ ℂ) ⋀ 6 ≠ 0) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
25	23, 24	mpan2 698	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℂ ⋀ 1 ∈ ℂ ⋀ 6 ∈ ℂ) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
26	2, 3, 21, 25	mp3an 918	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
27		df-3 5973	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
28	27	opreq1i 3977	. . . . . 6 ⊢ (3 − 1) = ((2 + 1) − 1)
29		pncant 5409	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ⋀ 1 ∈ ℂ) → ((2 + 1) − 1) = 2)
30	4, 3, 29	mp2an 699	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) − 1) = 2
31	28, 30	eqtr 1498	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
32	31	opreq1i 3977	. . . 4 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
33	4	mulid2 5345	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
34	33, 16	opreq12i 3979	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
35	4, 6	divid 5771	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
36	35	opreq2i 3978	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
37	3, 2, 4, 4, 5, 6	divmuldiv 5788	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
38	2, 5	reccl 5725	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
39	38	mulid1 5344	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
40	36, 37, 39	3eqtr3 1506	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
41	32, 34, 40	3eqtr2 1504	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
42	19, 26, 41	3eqtr2 1504	. 2 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
43	2, 3, 21, 23	divdir 5754	. . . 4 ⊢ ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
44		df-4 5974	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
45	44	opreq1i 3977	. . . 4 ⊢ (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
46	18	opreq1i 3977	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
47	43, 45, 46	3eqtr4r 1509	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
48		2t2e4 6024	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
49	48, 16	opreq12i 3979	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
50	35	opreq2i 3978	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
51	4, 2, 4, 4, 5, 6	divmuldiv 5788	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
52	4, 2, 5	divcl 5722	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
53	52	mulid1 5344	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
54	50, 51, 53	3eqtr3 1506	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
55	47, 49, 54	3eqtr2 1504	. 2 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
56	42, 55	pm3.2i 285	1 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ⋀ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   · cmul 5251   − cmin 5304   / cdiv 5306  2c2 5963  3c3 5964  4c4 5965  6c6 5967

This theorem is referenced by:  cos01bndlem3 7472

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-5 5975  df-6 5976

Copyright terms: Public domain