MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfpm6th Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfpm6th 11102
Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
halfpm6th (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th
StepHypRef Expression
1 3cn 10944 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
2 ax-1cn 9850 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3 2cn 10940 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
4 3ne0 10964 . . . . . 6 3 ≠ 0
5 2ne0 10962 . . . . . 6 2 ≠ 0
61, 1, 2, 3, 4, 5divmuldivi 10636 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
71, 4dividi 10609 . . . . . . 7 (3 / 3) = 1
87oveq1i 6536 . . . . . 6 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
9 halfcn 11096 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
109mulid2i 9899 . . . . . 6 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
118, 10eqtri 2631 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
121mulid1i 9898 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
13 3t2e6 11028 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1412, 13oveq12i 6538 . . . . 5 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
156, 11, 143eqtr3i 2639 . . . 4 (1 / 2) = (3 / 6)
1615oveq1i 6536 . . 3 ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
17 6cn 10951 . . . . 5 6 ∈ ℂ
18 6re 10950 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
19 6pos 10968 . . . . . 6 0 < 6
2018, 19gt0ne0ii 10415 . . . . 5 6 ≠ 0
2117, 20pm3.2i 469 . . . 4 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
22 divsubdir 10572 . . . 4 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
231, 2, 21, 22mp3an 1415 . . 3 ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
24 3m1e2 10986 . . . . 5 (3 − 1) = 2
2524oveq1i 6536 . . . 4 ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
263mulid2i 9899 . . . . 5 (1 · 2) = 2
2726, 13oveq12i 6538 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
283, 5dividi 10609 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
2928oveq2i 6537 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
302, 1, 3, 3, 4, 5divmuldivi 10636 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
311, 4reccli 10606 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3231mulid1i 9898 . . . . 5 ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
3329, 30, 323eqtr3i 2639 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
3425, 27, 333eqtr2i 2637 . . 3 ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
3516, 23, 343eqtr2i 2637 . 2 ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
361, 2, 17, 20divdiri 10633 . . . 4 ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
37 df-4 10930 . . . . 5 4 = (3 + 1)
3837oveq1i 6536 . . . 4 (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
3915oveq1i 6536 . . . 4 ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
4036, 38, 393eqtr4ri 2642 . . 3 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
41 2t2e4 11026 . . . 4 (2 · 2) = 4
4241, 13oveq12i 6538 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
4328oveq2i 6537 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
443, 1, 3, 3, 4, 5divmuldivi 10636 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
453, 1, 4divcli 10618 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
4645mulid1i 9898 . . . 4 ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
4743, 44, 463eqtr3i 2639 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
4840, 42, 473eqtr2i 2637 . 2 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
4935, 48pm3.2i 469 1 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  (class class class)co 6526  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  cmin 10117   / cdiv 10535  2c2 10919  3c3 10920  4c4 10921  6c6 10923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932
This theorem is referenced by:  cos01bnd  14703  sincos3rdpi  24016  1cubrlem  24312
  Copyright terms: Public domain W3C validator