MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfpm6th Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfpm6th 11846
Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
halfpm6th (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th
StepHypRef Expression
1 3cn 11706 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
2 ax-1cn 10583 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3 2cn 11700 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
4 3ne0 11731 . . . . . 6 3 ≠ 0
5 2ne0 11729 . . . . . 6 2 ≠ 0
61, 1, 2, 3, 4, 5divmuldivi 11388 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
71, 4dividi 11361 . . . . . . 7 (3 / 3) = 1
87oveq1i 7155 . . . . . 6 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
9 halfcn 11840 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
109mulid2i 10634 . . . . . 6 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
118, 10eqtri 2841 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
121mulid1i 10633 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
13 3t2e6 11791 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1412, 13oveq12i 7157 . . . . 5 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
156, 11, 143eqtr3i 2849 . . . 4 (1 / 2) = (3 / 6)
1615oveq1i 7155 . . 3 ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
17 6cn 11716 . . . . 5 6 ∈ ℂ
18 6re 11715 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
19 6pos 11735 . . . . . 6 0 < 6
2018, 19gt0ne0ii 11164 . . . . 5 6 ≠ 0
2117, 20pm3.2i 471 . . . 4 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
22 divsubdir 11322 . . . 4 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
231, 2, 21, 22mp3an 1452 . . 3 ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
24 3m1e2 11753 . . . . 5 (3 − 1) = 2
2524oveq1i 7155 . . . 4 ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
263mulid2i 10634 . . . . 5 (1 · 2) = 2
2726, 13oveq12i 7157 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
283, 5dividi 11361 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
2928oveq2i 7156 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
302, 1, 3, 3, 4, 5divmuldivi 11388 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
311, 4reccli 11358 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3231mulid1i 10633 . . . . 5 ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
3329, 30, 323eqtr3i 2849 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
3425, 27, 333eqtr2i 2847 . . 3 ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
3516, 23, 343eqtr2i 2847 . 2 ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
361, 2, 17, 20divdiri 11385 . . . 4 ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
37 df-4 11690 . . . . 5 4 = (3 + 1)
3837oveq1i 7155 . . . 4 (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
3915oveq1i 7155 . . . 4 ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
4036, 38, 393eqtr4ri 2852 . . 3 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
41 2t2e4 11789 . . . 4 (2 · 2) = 4
4241, 13oveq12i 7157 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
4328oveq2i 7156 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
443, 1, 3, 3, 4, 5divmuldivi 11388 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
453, 1, 4divcli 11370 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
4645mulid1i 10633 . . . 4 ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
4743, 44, 463eqtr3i 2849 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
4840, 42, 473eqtr2i 2847 . 2 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
4935, 48pm3.2i 471 1 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858   / cdiv 11285  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  6c6 11684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692
This theorem is referenced by:  cos01bnd  15527  1cubrlem  25346
  Copyright terms: Public domain W3C validator