Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfpm6th Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfpm6th 11291
 Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
halfpm6th (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th
StepHypRef Expression
1 3cn 11133 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
2 ax-1cn 10032 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3 2cn 11129 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
4 3ne0 11153 . . . . . 6 3 ≠ 0
5 2ne0 11151 . . . . . 6 2 ≠ 0
61, 1, 2, 3, 4, 5divmuldivi 10823 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
71, 4dividi 10796 . . . . . . 7 (3 / 3) = 1
87oveq1i 6700 . . . . . 6 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
9 halfcn 11285 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
109mulid2i 10081 . . . . . 6 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
118, 10eqtri 2673 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
121mulid1i 10080 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
13 3t2e6 11217 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1412, 13oveq12i 6702 . . . . 5 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
156, 11, 143eqtr3i 2681 . . . 4 (1 / 2) = (3 / 6)
1615oveq1i 6700 . . 3 ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
17 6cn 11140 . . . . 5 6 ∈ ℂ
18 6re 11139 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
19 6pos 11157 . . . . . 6 0 < 6
2018, 19gt0ne0ii 10602 . . . . 5 6 ≠ 0
2117, 20pm3.2i 470 . . . 4 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
22 divsubdir 10759 . . . 4 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
231, 2, 21, 22mp3an 1464 . . 3 ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
24 3m1e2 11175 . . . . 5 (3 − 1) = 2
2524oveq1i 6700 . . . 4 ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
263mulid2i 10081 . . . . 5 (1 · 2) = 2
2726, 13oveq12i 6702 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
283, 5dividi 10796 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
2928oveq2i 6701 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
302, 1, 3, 3, 4, 5divmuldivi 10823 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
311, 4reccli 10793 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3231mulid1i 10080 . . . . 5 ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
3329, 30, 323eqtr3i 2681 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
3425, 27, 333eqtr2i 2679 . . 3 ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
3516, 23, 343eqtr2i 2679 . 2 ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
361, 2, 17, 20divdiri 10820 . . . 4 ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
37 df-4 11119 . . . . 5 4 = (3 + 1)
3837oveq1i 6700 . . . 4 (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
3915oveq1i 6700 . . . 4 ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
4036, 38, 393eqtr4ri 2684 . . 3 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
41 2t2e4 11215 . . . 4 (2 · 2) = 4
4241, 13oveq12i 6702 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
4328oveq2i 6701 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
443, 1, 3, 3, 4, 5divmuldivi 10823 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
453, 1, 4divcli 10805 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
4645mulid1i 10080 . . . 4 ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
4743, 44, 463eqtr3i 2681 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
4840, 42, 473eqtr2i 2679 . 2 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
4935, 48pm3.2i 470 1 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   − cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  6c6 11112 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121 This theorem is referenced by:  cos01bnd  14960  sincos3rdpi  24313  1cubrlem  24613
 Copyright terms: Public domain W3C validator