MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hargch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hargch 9447
Description: If 𝐴 + ≈ 𝒫 𝐴, then 𝐴 is a GCH-set. The much simpler converse to gchhar 9453. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
hargch ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ GCH)

Proof of Theorem hargch
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 harcl 8418 . . . . . . . . . . . . . 14 (har‘𝐴) ∈ On
2 sdomdom 7935 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ≼ (har‘𝐴))
3 ondomen 8812 . . . . . . . . . . . . . 14 (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝑥 ≼ (har‘𝐴)) → 𝑥 ∈ dom card)
41, 2, 3sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ∈ dom card)
5 onenon 8727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((har‘𝐴) ∈ On → (har‘𝐴) ∈ dom card)
61, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (har‘𝐴) ∈ dom card
7 cardsdom2 8766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ dom card ∧ (har‘𝐴) ∈ dom card) → ((card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)) ↔ 𝑥 ≺ (har‘𝐴)))
84, 6, 7sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ((card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)) ↔ 𝑥 ≺ (har‘𝐴)))
98ibir 257 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)))
10 harcard 8756 . . . . . . . . . . 11 (card‘(har‘𝐴)) = (har‘𝐴)
119, 10syl6eleq 2708 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴))
12 elharval 8420 . . . . . . . . . . 11 ((card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴) ↔ ((card‘𝑥) ∈ On ∧ (card‘𝑥) ≼ 𝐴))
1312simprbi 480 . . . . . . . . . 10 ((card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ≼ 𝐴)
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ≼ 𝐴)
15 cardid2 8731 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom card → (card‘𝑥) ≈ 𝑥)
16 domen1 8054 . . . . . . . . . 10 ((card‘𝑥) ≈ 𝑥 → ((card‘𝑥) ≼ 𝐴𝑥𝐴))
174, 15, 163syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ((card‘𝑥) ≼ 𝐴𝑥𝐴))
1814, 17mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥𝐴)
19 domnsym 8038 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → ¬ 𝐴𝑥)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ¬ 𝐴𝑥)
2120con2i 134 . . . . . 6 (𝐴𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ (har‘𝐴))
22 sdomen2 8057 . . . . . . 7 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝑥 ≺ (har‘𝐴) ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
2322notbid 308 . . . . . 6 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (¬ 𝑥 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
2421, 23syl5ib 234 . . . . 5 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
25 imnan 438 . . . . 5 ((𝐴𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
2624, 25sylib 208 . . . 4 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
2726alrimiv 1852 . . 3 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → ∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
2827olcd 408 . 2 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴)))
29 relen 7912 . . . . 5 Rel ≈
3029brrelex2i 5124 . . . 4 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
31 pwexb 6929 . . . 4 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
3230, 31sylibr 224 . . 3 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ V)
33 elgch 9396 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
3432, 33syl 17 . 2 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴𝑥𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
3528, 34mpbird 247 1 ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ GCH)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  wal 1478  wcel 1987  Vcvv 3189  𝒫 cpw 4135   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  Oncon0 5687  cfv 5852  cen 7904  cdom 7905  csdm 7906  Fincfn 7907  harchar 8413  cardccrd 8713  GCHcgch 9394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-oi 8367  df-har 8415  df-card 8717  df-gch 9395
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator