Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  harinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harinf 38121
 Description: The Hartogs number of an infinite set is at least ω. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
harinf ((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ⊆ (har‘𝑆))

Proof of Theorem harinf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 7237 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
21adantl 473 . . . 4 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ On)
3 simplr 809 . . . . . 6 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
4 nnfi 8320 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
54adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ Fin)
6 sdomdom 8151 . . . . . . 7 (𝑆𝑥𝑆𝑥)
7 domfi 8348 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑆𝑥) → 𝑆 ∈ Fin)
87ex 449 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Fin → (𝑆𝑥𝑆 ∈ Fin))
95, 6, 8syl2im 40 . . . . . 6 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑆𝑥𝑆 ∈ Fin))
103, 9mtod 189 . . . . 5 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ¬ 𝑆𝑥)
11 simpll 807 . . . . . 6 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑆𝑉)
12 fidomtri 9029 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑆𝑉) → (𝑥𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑥))
135, 11, 12syl2anc 696 . . . . 5 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑥𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑥))
1410, 13mpbird 247 . . . 4 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥𝑆)
15 elharval 8635 . . . 4 (𝑥 ∈ (har‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥𝑆))
162, 14, 15sylanbrc 701 . . 3 (((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ (har‘𝑆))
1716ex 449 . 2 ((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ (har‘𝑆)))
1817ssrdv 3750 1 ((𝑆𝑉 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ⊆ (har‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804  Oncon0 5884  ‘cfv 6049  ωcom 7231   ≼ cdom 8121   ≺ csdm 8122  Fincfn 8123  harchar 8628 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-oi 8582  df-har 8630  df-card 8975 This theorem is referenced by:  ttac  38123
 Copyright terms: Public domain W3C validator